I. Définition [Modifier]

Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K (ℝ ou ℂ). Une application f : E → F est dite linéaire si :

• ∀ u, v ∈ E, f(u + v) = f(u) + f(v)
• ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ E, f(λ·u) = λ·f(u)

Ces deux propriétés s’appellent respectivement la linéarité de l’addition et la linéarité de la multiplication scalaire.

II. Propriétés générales [Modifier]

• f(0) = 0 (l’image du vecteur nul est le vecteur nul)
• f(−u) = −f(u)
• f(λ₁·u₁ + λ₂·u₂ + ... + λₙ·uₙ) = λ₁·f(u₁) + λ₂·f(u₂) + ... + λₙ·f(uₙ)

III. Exemples d'applications linéaires [Modifier]

• f : ℝ² → ℝ² définie par f(x, y) = (2x, 3y)
• g : ℝ³ → ℝ définie par g(x, y, z) = x + y + z
• Application nulle : f(u) = 0 pour tout u
• Identité : f(u) = u

IV. Noyau et image [Modifier]

• Noyau de f (Ker(f)) : Ensemble des vecteurs u ∈ E tels que f(u) = 0
• Image de f (Im(f)) : Ensemble des vecteurs v ∈ F tels qu’il existe u ∈ E avec f(u) = v
• Ker(f) est un sous-espace de E ; Im(f) est un sous-espace de F

V. Matrice d’une application linéaire [Modifier]

Soient f : ℝⁿ → ℝᵐ une application linéaire, alors il existe une matrice A ∈ Mₘₙ(ℝ) telle que :

f(x) = A · x (produit matriciel)

Exemple :

f : ℝ² → ℝ², f(x, y) = (x + y, 2x − y)

Alors la matrice associée est :

A = | 1 1 |
| 2 -1 |

VI. Théorème du rang [Modifier]

Soit f : E → F une application linéaire avec E de dimension finie. Alors :

dim(E) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))

C’est le théorème du rang.

VII. Caractérisation de la linéarité (test pratique) [Modifier]

Pour vérifier que f est linéaire, il suffit de tester :

• f(u + v) = f(u) + f(v)
• f(λu) = λf(u)

Si l’un de ces points est faux, f n’est pas linéaire.

VIII. Exemple non linéaire [Modifier]

Soit f : ℝ² → ℝ² définie par f(x, y) = (x², y)

• f(1, 1) = (1, 1)
• f(−1, 1) = (1, 1)
• Mais f(1 + (−1), 2) ≠ f(1, 2) + f(−1, 0) → donc f n’est pas linéaire