Exercice 1

Soit f : ℝ³ → ℝ² définie par :

f(x, y, z) = (−2x + y + z, x − 2y + z)

1. Montrer que f est linéaire.
2. Donner une base du noyau de f, en déduire rg(f).

Exercice 2

Soient (e₁, e₂) et (e′₁, e′₂, e′₃) les bases canoniques respectives des espaces vectoriels ℝ² et ℝ³.

1. Déterminer l’application linéaire f : ℝ² → ℝ³ telle que :

   f(e₁) = 2e′₁ + e′₃, f(e₂) = −5e′₁ + e′₂

2. Déterminer ker f, Im f et préciser leurs dimensions.
3. L’application f est-elle injective ? Surjective ? Justifier.