I. Définition [تحرير]

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et en colonnes.

Une matrice de dimension m × n contient m lignes et n colonnes.

Notation : A = (a_ij), où a_ij est l’élément situé à la ligne i, colonne j.

II. Types de matrices [تحرير]

• Matrice carrée : même nombre de lignes et de colonnes (n × n)
• Matrice ligne : 1 ligne, plusieurs colonnes
• Matrice colonne : 1 colonne, plusieurs lignes
• Matrice nulle : tous les éléments sont 0
• Matrice identité : matrice carrée avec 1 sur la diagonale et 0 ailleurs
• Matrice diagonale : éléments non nuls uniquement sur la diagonale

III. Opérations sur les matrices [تحرير]

• Addition : même dimensions ; on additionne les éléments correspondants
• Multiplication par un scalaire : chaque élément est multiplié par un nombre réel
• Multiplication de matrices : A(m×n) × B(n×p) = C(m×p)
• Transpose : A^T = la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes

IV. Inversibilité [تحرير]

• Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice B telle que :
  AB = BA = I (matrice identité)
• Conditions :
  • A doit être carrée
  • Son déterminant doit être non nul (det(A) ≠ 0)

V. Déterminant (matrices 2×2 et 3×3) [تحرير]

• Pour A = |a b|
                       |c d|
  det(A) = ad − bc
• Pour les 3×3 : règle de Sarrus ou développement par les cofacteurs

VI. Rang d’une matrice [تحرير]

• Le rang d’une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes
• Il correspond aussi au nombre de pivots après réduction échelonnée (méthode du pivot de Gauss)

VII. Systèmes linéaires et matrices [تحرير]

Un système linéaire peut être écrit sous forme matricielle :

AX = B
où :
- A est la matrice des coefficients
- X est le vecteur des inconnues
- B est le vecteur des constantes

On peut alors utiliser la méthode de Gauss ou l’inverse de A (si elle existe) pour résoudre :

X = A⁻¹ B

VIII. Applications [تحرير]

• Résolution de systèmes linéaires
• Changement de base
• Transformations linéaires (rotation, homothétie, projection...)
• Graphes et réseaux (matrices d’adjacence)