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Table des matières

1. I. Définition [Modifier]

2. II. Types de matrices [Modifier]

3. III. Opérations sur les matrices [Modifier]

4. IV. Inversibilité [Modifier]

5. V. Déterminant (matrices 2×2 et 3×3) [Modifier]

6. VI. Rang d’une matrice [Modifier]

7. VII. Systèmes linéaires et matrices [Modifier]

8. VIII. Applications [Modifier]

I. Définition [Modifier]

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et en colonnes.

Une matrice de dimension m × n contient m lignes et n colonnes.

Notation : A = (aij), où aij est l’élément situé à la ligne i, colonne j.

II. Types de matrices [Modifier]

  • Matrice carrée : même nombre de lignes et de colonnes (n × n)
  • Matrice ligne : 1 ligne, plusieurs colonnes
  • Matrice colonne : 1 colonne, plusieurs lignes
  • Matrice nulle : tous les éléments sont 0
  • Matrice identité : matrice carrée avec 1 sur la diagonale et 0 ailleurs
  • Matrice diagonale : éléments non nuls uniquement sur la diagonale

III. Opérations sur les matrices [Modifier]

  • Addition : même dimensions ; on additionne les éléments correspondants
  • Multiplication par un scalaire : chaque élément est multiplié par un nombre réel
  • Multiplication de matrices : A(m×n) × B(n×p) = C(m×p)
  • Transpose : AT = la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes

IV. Inversibilité [Modifier]

  • Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice B telle que :
    AB = BA = I (matrice identité)
  • Conditions :
    • A doit être carrée
    • Son déterminant doit être non nul (det(A) ≠ 0)

V. Déterminant (matrices 2×2 et 3×3) [Modifier]

  • Pour A = |a b|
                         |c d|
    det(A) = ad − bc
  • Pour les 3×3 : règle de Sarrus ou développement par les cofacteurs

VI. Rang d’une matrice [Modifier]

  • Le rang d’une matrice est le nombre maximal de lignes (ou colonnes) linéairement indépendantes
  • Il correspond aussi au nombre de pivots après réduction échelonnée (méthode du pivot de Gauss)

VII. Systèmes linéaires et matrices [Modifier]

Un système linéaire peut être écrit sous forme matricielle :

AX = B
où :
- A est la matrice des coefficients
- X est le vecteur des inconnues
- B est le vecteur des constantes

On peut alors utiliser la méthode de Gauss ou l’inverse de A (si elle existe) pour résoudre :

X = A−1 B

VIII. Applications [Modifier]

  • Résolution de systèmes linéaires
  • Changement de base
  • Transformations linéaires (rotation, homothétie, projection...)
  • Graphes et réseaux (matrices d’adjacence)