Résumé détaillé sur les matrices

1. Définition d’une matrice

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres, notée par une lettre majuscule. Chaque élément est noté \( a_{ij} \), où \( i \) désigne la ligne et \( j \) la colonne.

Exemple :
\( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{pmatrix} \) est une matrice de dimension \( 2 \times 3 \).

2. Ordre d’une matrice

L’ordre d’une matrice est défini par le couple \( (m, n) \) représentant le nombre de lignes \( m \) et de colonnes \( n \).

3. Types de matrices

• Matrice ligne : une seule ligne (\( 1 \times n \))
• Matrice colonne : une seule colonne (\( m \times 1 \))
• Matrice carrée : même nombre de lignes et de colonnes
• Matrice diagonale : éléments hors diagonale nuls
• Matrice identité \( I_n \) : 1 sur la diagonale, 0 ailleurs
• Matrice nulle : tous les éléments sont nuls
• Matrice symétrique : \( A = A^T \)
• Matrice triangulaire : supérieure ou inférieure

4. Égalité de matrices

Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les mêmes éléments :
\( A = B \iff \forall i, j, \quad a_{ij} = b_{ij} \)

5. Opérations sur les matrices

• Addition : \( (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \)
• Multiplication par un scalaire : \( (\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij} \)
• Multiplication matricielle :
  Si \( A \in \mathbb{R}^{m \times n} \) et \( B \in \mathbb{R}^{n \times p} \), alors \( AB \in \mathbb{R}^{m \times p} \), avec :
  \( (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj} \)

Attention : la multiplication n’est pas commutative.

6. Transposée d’une matrice

La transposée \( A^T \) est obtenue en inversant lignes et colonnes :
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)

7. Matrice inverse

Une matrice carrée \( A \) est inversible s’il existe \( A^{-1} \) tel que :
\( AA^{-1} = A^{-1}A = I_n \)
Condition : \( \det(A) \neq 0 \)

8. Déterminant

Le déterminant est un scalaire associé à une matrice carrée. Pour \( 2 \times 2 \) :

\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \Rightarrow \det(A) = ad - bc \)

Une matrice est inversible si son déterminant est non nul.

9. Systèmes linéaires et matrices

Un système peut être écrit sous la forme : \( AX = B \)

• A : matrice des coefficients
• X : vecteur des inconnues
• B : vecteur des constantes

Méthodes de résolution : substitution, élimination de Gauss, méthode de Cramer, inversion.

10. Applications des matrices

• Résolution de systèmes d'équations
• Transformations géométriques
• Traitement d'images et de données
• Modélisation économique et physique
• Programmation linéaire, graphes