Exercice 1

Soient les matrices suivantes :

$$ A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 8 & -1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -1 \\ 5 & -3 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

Questions :

1. Calculer 2C − D, CD, C², tA, tC, Tr(B), Tr(D).
2. Calculer det(A) et det(D).
3. Calculer AB et en déduire A⁻¹.

Exercice 2

Soit A une matrice carrée telle que :

A³ = 3A² - 5A + 2I

où I est la matrice identité. Montrer que A est inversible et donner son inverse A^-1.