Définition d’une application linéaire

Une application \( f : E \to F \) entre deux espaces vectoriels est dite linéaire si : \[ f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v) \quad \forall u, v \in E, \lambda, \mu \in \mathbb{K} \]

Propriétés fondamentales

- L'image du vecteur nul est le vecteur nul : \( f(0_E) = 0_F \)
- Toute combinaison linéaire est conservée par \( f \)
- Le graphe de \( f \) est un sous-espace de \( E \times F \)

Noyau d’une application linéaire

Le noyau de \( f \) est l’ensemble : \[ \ker(f) = \{ x \in E \mid f(x) = 0_F \} \] C’est un sous-espace vectoriel de \( E \).

Endomorphisme

Une application linéaire \( f : E \to E \) est appelée un endomorphisme de \( E \).

Isomorphisme

Une application linéaire bijective \( f : E \to F \) est un isomorphisme. On dit alors que \( E \) et \( F \) sont isomorphes.

Composition d’applications linéaires

Si \( f : E \to F \) et \( g : F \to G \) sont linéaires, alors \( g \circ f : E \to G \) est aussi linéaire.