Le raisonnement direct consiste à enchaîner logiquement des faits ou des propositions connues jusqu'à parvenir à la conclusion souhaitée.

Exemple :
Tout entier pair est divisible par 2. Or, 8 est un entier pair. Donc 8 est divisible par 2.

Pour prouver une implication p ⇒ q, on démontre plutôt sa contraposée : ¬q ⇒ ¬p. Ces deux propositions sont logiquement équivalentes.

Exemple :
Soit p : « n est divisible par 4 » et q : « n est pair ».
La contraposée est : « Si n n'est pas pair, alors il n'est pas divisible par 4 ».

Le raisonnement par contraposition consiste à prouver p ⇒ q en démontrant ¬q ⇒ ¬p.

Il est utile lorsque la contraposée est plus facile à démontrer que l'implication directe.

On divise la situation en plusieurs cas distincts et on démontre que dans chaque cas, la propriété est vraie.

Exemple :
Pour prouver que |x| ≥ 0 :
– Si x ≥ 0, alors |x| = x ≥ 0.
– Si x < 0, alors |x| = –x ≥ 0.
Donc dans tous les cas, |x| ≥ 0.

Ce type de raisonnement suppose que l’énoncé à démontrer est faux, puis montre que cette hypothèse mène à une contradiction. On en conclut donc que l’énoncé est vrai.

Exemple classique : démonstration que √2 est irrationnel.

Le raisonnement par récurrence est une méthode utilisée pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d’un certain rang.

Il comprend deux étapes :

• Initialisation : on prouve la propriété pour n = n₀ (souvent 0 ou 1).
• Hérédité : on suppose que la propriété est vraie au rang n, et on montre qu’elle l’est aussi pour n + 1.

Exemple :
Montrer que 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 pour tout entier naturel n.