Solution exercice 6

Soient dans ℝ³ les vecteurs u₁ = (1,1,0), u₂ = (0,1,1) et u₃ = (1,2,1).

1) On remarque que u₃ = u₁ + u₂, donc
   F = vect(u₁, u₂, u₃) = { αu₁ + βu₂ + γu₃ ; α, β, γ ∈ ℝ }
                        = { αu₁ + βu₂ + γ(u₁ + u₂) ; α, β, γ ∈ ℝ }
                        = { (α + γ)u₁ + (β + γ)u₂ ; α, β, γ ∈ ℝ }
                        = vect(u₁, u₂)

   D’où, (u₁, u₂) est une génératrice de F.
   Soient α₁ et α₂ deux scalaires, alors

   α₁u₁ + α₂u₂ = 0ℝ³ ⇒ α₁(1,1,0) + α₂(0,1,1) = 0ℝ³
               ⇒ (α₁, α₁ + α₂, α₂) = (0,0,0)
               ⇒ α₁ = 0, α₁ + α₂ = 0, α₂ = 0
               ⇒ α₁ = α₂ = 0

   D’où, la famille (u₁, u₂) est libre.
   On en déduit que (u₁, u₂) est une base de F et dim(F) = 2.
  

2) Soit (x, y, z) ∈ F, alors
   (x, y, z) = α₁u₁ + α₂u₂ où α₁, α₂ ∈ ℝ
            = (α₁, α₁ + α₂, α₂)

   Il s’ensuit :
   x = α₁
   y = α₁ + α₂
   z = α₂
   ⇒ y = x + z ⇒ x - y + z = 0

   Et par conséquent, F = { (x, y, z) ∈ ℝ³ ; x - y + z = 0 }
  

3) G = { (x, y, z) ∈ ℝ³ ; x + y + z = 0 }
   = { (x, y, -x - y) ∈ ℝ³ ; x, y ∈ ℝ }
   = { x(1,0,-1) + y(0,1,-1) ; x, y ∈ ℝ }
   = vect(v₁, v₂), avec v₁ = (1,0,-1), v₂ = (0,1,-1)

   Soient α₁, α₂ ∈ ℝ, alors

   α₁v₁ + α₂v₂ = 0ℝ³ ⇒ α₁(1,0,-1) + α₂(0,1,-1) = (0,0,0)
               ⇒ (α₁, α₂, -α₁ - α₂) = (0,0,0)
               ⇒ α₁ = 0, α₂ = 0

   ⇒ (v₁, v₂) est libre donc base de G, dim(G) = 2
  

4) dim(F) + dim(G) = 2 + 2 = 4 > dim(ℝ³) = 3
   ⇒ F + G ≠ ℝ³
  

5) Méthode 1 :
   Soit (x, y, z) ∈ ℝ³
   (x, y, z) ∈ F ∩ G ⇔ x - y + z = 0 et x + y + z = 0

   ⇒ soustraction des deux :
      (x + y + z) - (x - y + z) = 2y = 0 ⇒ y = 0
      Puis x + y + z = 0 ⇒ x + z = 0 ⇒ z = -x

   ⇒ F ∩ G = { (x, 0, -x) ; x ∈ ℝ } = vect(w) avec w = (1, 0, -1)
     Donc base : { w }, dim(F ∩ G) = 1
  

6) On sait que (v₁, v₂) est une base de G.
   On complète par v₃ = (1, 0, 0)
   Vérifions que (v₁, v₂, v₃) est libre :

   Soient α₁, α₂, α₃ ∈ ℝ,
   α₁v₁ + α₂v₂ + α₃v₃ = 0ℝ³ ⇒ α₁(1,0,-1) + α₂(0,1,-1) + α₃(1,0,0) = (0,0,0)
                         ⇒ (α₁ + α₃, α₂, -α₁ - α₂) = (0,0,0)
                         ⇒ α₁ = -α₃, α₂ = 0, donc α₁ = 0 ⇒ α₃ = 0

   ⇒ α₁ = α₂ = α₃ = 0 ⇒ famille libre ⇒ base de ℝ³