Exercice 3
Dans ℝ³, on considère les vecteurs :
- u₁ = (1, 1, 1)
- u₂ = (2, −2, −1)
- u₃ = (1, 1, −1)
On cherche à savoir :
- Si la famille (u₁, u₂, u₃) est libre.
- Si u₃ appartient à F = Vect(u₁, u₂).
1) Test de liberté
Soit une combinaison linéaire :
α·u₁ + β·u₂ + γ·u₃ = 0
⇨ α(1,1,1) + β(2,−2,−1) + γ(1,1,−1) = (0,0,0)
⇨ (α + 2β + γ, α − 2β + γ, α − β − γ) = (0,0,0)
D'où le système :
(1) α + 2β + γ = 0
(2) α − 2β + γ = 0
(3) α − β − γ = 0
En résolvant ce système :
- (1) − (2) : 4β = 0 ⇒ β = 0
- Remplaçons dans (3) : α − 0 − γ = 0 ⇒ α = γ
- Remplaçons dans (1) : α + 0 + γ = 0 ⇒ 2α = 0 ⇒ α = γ = 0
Conclusion : seule solution : α = β = γ = 0 ⇒ La famille est libre.
2) u₃ ∈ Vect(u₁, u₂) ?
Supposons que u₃ = a·u₁ + b·u₂. Cela ferait de u₃ une combinaison linéaire des deux autres ⇒ la famille serait liée.
Or, on vient de montrer que la famille est libre ⇒ u₃ ∉ Vect(u₁, u₂).
Exercice 4
Dans ℝ³, on considère les vecteurs suivants :
- u₁ = (1, 1, 2)
- u₂ = (1, −1, 0)
- u₃ = (2, 4, 2)
1) Montrer que (u₁, u₂, u₃) est une base de ℝ³
ℝ³ a une dimension de 3. La famille (u₁, u₂, u₃) contient 3 vecteurs. Il suffit donc de montrer qu’elle est génératrice ou libre.
On va montrer que la famille est génératrice en résolvant le système :
Trouvons α, β, γ tels que pour un vecteur u = (x, y, z) ∈ ℝ³ :
u = α·u₁ + β·u₂ + γ·u₃
= α·(1,1,2) + β·(1,−1,0) + γ·(2,4,2)
= (α + β + 2γ, α − β + 4γ, 2α + 2γ)
Ce qui nous donne le système :
(1) α + β + 2γ = x
(2) α − β + 4γ = y
(3) 2α + 2γ = z
Étape 1 : Résolution du système
De (3) : isolons α :
2α + 2γ = z ⇒ α = (z − 2γ)/2
On remplace dans (1) et (2) :
(1) ⇒ (z−2γ)/2 + β + 2γ = x
⇒ (z/2 − γ) + β + 2γ = x
⇒ β + γ + z/2 = x
⇒ β + γ = x − z/2 ...(i)
(2) ⇒ (z−2γ)/2 − β + 4γ = y
⇒ (z/2 − γ) − β + 4γ = y
⇒ −β + 3γ + z/2 = y
⇒ −β + 3γ = y − z/2 ...(ii)
Étape 2 : Résolution du système réduit
De (i) : β = x − z/2 − γ
On remplace dans (ii) :
−(x − z/2 − γ) + 3γ = y − z/2
⇒ −x + z/2 + γ + 3γ = y − z/2
⇒ −x + z/2 + 4γ = y − z/2
⇒ 4γ = x + y − z
⇒ γ = (x + y − z)/4
Puis on remonte :
β = x − z/2 − γ
= x − z/2 − (x + y − z)/4
= (4x − 2z − x − y + z)/4
= (3x − y − z)/4
α = (z − 2γ)/2 = (z − 2(x + y − z)/4)/2
= (z − (x + y − z)/2)/2
= (2z − x − y + z)/4
= (−x − y + 3z)/4
Conclusion :
On peut toujours écrire un vecteur de ℝ³ comme combinaison linéaire de u₁, u₂, u₃ ⇒ La famille est génératrice, donc une base de ℝ³.
2) Coordonnées du vecteur V = (2, 2, 2) dans cette base
On reprend les formules trouvées :
x = 2, y = 2, z = 2
γ = (x + y − z)/4 = (2 + 2 − 2)/4 = 2/4 = 1/2
β = (3x − y − z)/4 = (6 − 2 − 2)/4 = 2/4 = 1/2
α = (−x − y + 3z)/4 = (−2 − 2 + 6)/4 = 2/4 = 1/2
Conclusion : Le vecteur V = (2,2,2) s’écrit dans la base (u₁, u₂, u₃) comme :
V = ½·u₁ + ½·u₂ + ½·u₃