📘 Résumé : Base, Sous-espace, Somme Directe, Intersection

1. Base d’un espace vectoriel

Une base est une famille de vecteurs (v₁, ..., vₙ) qui est :

• Linéairement indépendante (libre)
• Génératrice de tout l’espace vectoriel

Tout vecteur de l’espace s’écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base.

2. Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel F d’un espace E est un ensemble de vecteurs de E qui est :

• Fermé pour l’addition vectorielle : u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F
• Fermé pour la multiplication scalaire : λ ∈ K, u ∈ F ⇒ λu ∈ F
• Contient le vecteur nul

3. Somme directe de deux sous-espaces

Soient F et G deux sous-espaces de E. Leur somme directe est notée F ⊕ G si :

• E = F + G (chaque vecteur de E est somme d’un vecteur de F et d’un de G)
• F ∩ G = {0} (l’intersection est réduite au vecteur nul)

Dans ce cas, tout vecteur x ∈ E s’écrit de façon unique comme x = f + g avec f ∈ F, g ∈ G.

4. Intersection de deux sous-espaces

L’intersection F ∩ G est l’ensemble des vecteurs qui appartiennent à la fois à F et à G.

Il s’agit aussi d’un sous-espace vectoriel de E.