📘 Résumé : Familles, bases et sous-espaces vectoriels

1. Famille libre

Une famille de vecteurs (v₁, ..., vₙ) est libre si la seule combinaison linéaire nulle est :

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ = 0 ⟺ λ₁ = λ₂ = ... = λₙ = 0

2. Famille liée

Une famille est liée s’il existe une combinaison non triviale (au moins un λᵢ ≠ 0) donnant le vecteur nul :

λ₁v₁ + λ₂v₂ + ... + λₙvₙ = 0 avec au moins un λᵢ ≠ 0.

3. Base

Une base d’un espace vectoriel V est une famille de vecteurs :

• libre
• génératrice (tout vecteur de V est combinaison des vecteurs de la base)

Exemple : {e₁, e₂} est une base de ℝ² avec e₁ = (1,0), e₂ = (0,1).

4. Sous-espace vectoriel

Un sous-espace vectoriel F ⊆ E est un sous-ensemble qui vérifie :

• Contient le vecteur nul
• Stable par addition : u, v ∈ F ⇒ u + v ∈ F
• Stable par multiplication scalaire : λ ∈ ℝ, u ∈ F ⇒ λu ∈ F

5. Dimension d’un espace vectoriel

La dimension de V est le nombre de vecteurs dans une base de V.

Toutes les bases d’un même espace vectoriel ont le même nombre d’éléments.