I. Rappels sur les espaces vectoriels [Modifier]

• Un espace vectoriel E sur un corps K (souvent ℝ ou ℂ) est un ensemble muni :
  • d’une addition vectorielle : u + v
  • d’une multiplication par un scalaire : λ · u
• Les opérations doivent vérifier des axiomes (associativité, distributivité, élément neutre, etc.).

II. Définition d’un sous-espace vectoriel [Modifier]

• Un sous-espace vectoriel F de E est une partie de E qui est elle-même un espace vectoriel pour les mêmes opérations que E.
• Autrement dit, F ⊆ E et F est stable par addition et multiplication par un scalaire.

III. Critère pratique [Modifier]

Soit F ⊆ E. F est un sous-espace vectoriel si :

• 1. Le vecteur nul de E est dans F (0 ∈ F)
• 2. ∀ u, v ∈ F, u + v ∈ F (stabilité par addition)
• 3. ∀ u ∈ F, ∀ λ ∈ K, λ·u ∈ F (stabilité par multiplication scalaire)

IV. Exemples classiques [Modifier]

• Dans ℝ² :
  • Le plan ℝ² lui-même est un espace vectoriel.
  • La droite passant par l’origine est un sous-espace vectoriel.
  • La droite d définie par y = x est un sous-espace vectoriel.
  • La droite y = x + 1 n’est pas un sous-espace (car elle ne contient pas le vecteur nul).
• Dans ℝ³ :
  • Le plan d'équation x + y + z = 0 est un sous-espace vectoriel de ℝ³.

V. Opérations sur les sous-espaces [Modifier]

• Intersection : L’intersection de deux sous-espaces est encore un sous-espace.
• Union : L’union de deux sous-espaces n’est pas nécessairement un sous-espace (sauf si l’un est inclus dans l’autre).
• Somme : F + G = {u + v | u ∈ F, v ∈ G} est un sous-espace.

VI. Exemples avec justification [Modifier]

Soit E = ℝ³ et F = { (x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0 }

• 0 ∈ F car 0 + 0 + 0 = 0 ✅
• Stabilité par addition : (x₁ + y₁ + z₁ = 0) et (x₂ + y₂ + z₂ = 0) ⇒ somme aussi nulle ✅
• Stabilité par scalaire : λ(x + y + z) = 0 ⇒ λu ∈ F ✅

Donc F est un sous-espace de ℝ³.