Solution Détaillée
Vérifier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels du ℝ-espace vectoriel ℝ3.
Vérification des axiomes de sous-espace vectoriel :
(i) Contient le vecteur nul :
0ℝ3 = (0, 0, 0)
0 + 0 + 0 = 0 ≤ 0 ⇒ (0, 0, 0) ∈ E1
✓ L'ensemble contient bien le vecteur nul
(ii) Stabilité par multiplication scalaire :
Prenons u = (-1, 0, 0) ∈ E1 car -1 + 0 + 0 = -1 ≤ 0
Soit λ = -2 ∈ ℝ
λ·u = -2·(-1, 0, 0) = (2, 0, 0)
Vérification : 2 + 0 + 0 = 2 ≰ 0 ⇒ (2, 0, 0) ∉ E1
✖ L'ensemble n'est pas stable par multiplication scalaire
Vérification des axiomes :
(i) Contient le vecteur nul :
Pour (0, 0, 0) :
0 - 3×0 = 0 et 0 = 0 ⇒ (0, 0, 0) ∈ E2
✓ Contient le vecteur nul
(ii) Stabilité par addition :
Soient u = (x1, y1, z1) et v = (x2, y2, z2) ∈ E2
On a : y1 = 3x1, z1 = 0 et y2 = 3x2, z2 = 0
u + v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)
Vérification :
(y1+y2) - 3(x1+x2) = (3x1+3x2) - 3(x1+x2) = 0
et z1+z2 = 0 + 0 = 0
✓ Stable par addition
(iii) Stabilité par multiplication scalaire :
Soit u = (x, y, z) ∈ E2 et λ ∈ ℝ
On a y = 3x et z = 0
λu = (λx, λy, λz)
Vérification :
λy - 3(λx) = λ(y - 3x) = λ×0 = 0
et λz = λ×0 = 0
✓ Stable par multiplication scalaire
Vérification des axiomes :
(i) Contient le vecteur nul :
Pour x = 0 : (0, 0, 0) ∈ E3
✓ Contient le vecteur nul
(ii) Stabilité par combinaison linéaire :
Soient u = (a, 2a, a) et v = (b, 2b, b) ∈ E3
Soient λ, μ ∈ ℝ
λu + μv = (λa+μb, 2λa+2μb, λa+μb) = (t, 2t, t) où t = λa+μb ∈ ℝ
✓ Stable par combinaison linéaire
Vérification des axiomes :
(i) Contient le vecteur nul :
02 - 02 = 0 ⇒ (0, 0, 0) ∈ E4
✓ Contient le vecteur nul
(ii) Stabilité par addition :
Prenons u = (-1, 0, 1) : (-1)2 - 12 = 0 ⇒ u ∈ E4
v = (1, 0, 1) : 12 - 12 = 0 ⇒ v ∈ E4
u + v = (0, 0, 2)
02 - 22 = -4 ≠ 0 ⇒ u + v ∉ E4
✖ Non stable par addition
Exercice 2
a) Étude du vecteur (x, 1, y, 1)
On suppose qu’il existe deux réels α et β tels que :
(x, 1, y, 1) = α·u₁ + β·u₂
Soit :
α·(1, 2, 3, 4) + β·(1, −2, 3, −4)
= (α + β, 2α − 2β, 3α + 3β, 4α − 4β)
On pose donc le système :
x = α + β
1 = 2α − 2β (1)
y = 3α + 3β
1 = 4α − 4β (2)
Des équations (1) et (2), on déduit :
2α − 2β = 1 ⇒ α − β = 1/2
4α − 4β = 1 ⇒ α − β = 1/4
Contradiction : les deux équations donnent des résultats différents ⇒ système impossible.
Conclusion : (x, 1, y, 1) ∉ Vect(u₁, u₂).
b) Étude du vecteur (x, 1, 1, y)
On suppose de même qu’il existe deux réels α et β tels que :
(x, 1, 1, y) = α·u₁ + β·u₂
Soit :
(x, 1, 1, y) = α·(1, 2, 3, 4) + β·(1, −2, 3, −4)
= (α + β, 2α − 2β, 3α + 3β, 4α − 4β)
D'où le système :
x = α + β
1 = 2α − 2β (1)
1 = 3α + 3β (2)
y = 4α − 4β
De (1) : α − β = 1/2
De (2) : 3α + 3β = 1 ⇒ α + β = 1/3
Résolution :
α + β = 1/3
α − β = 1/2
⇒ 2α = 1/3 + 1/2 = 5/6 ⇒ α = 5/12
⇒ β = 1/3 − α = 1/3 − 5/12 = -1/12
Donc :
x = α + β = 5/12 − 1/12 = 1/3
y = 4α − 4β = 4·(5/12 + 1/12) = 4·(6/12) = 2
Conclusion : (x, 1, 1, y) ∈ Vect(u₁, u₂) avec x = 1/3 et y = 2.