1. Notions élémentaires de logique

Maîtriser les outils fondamentaux du raisonnement mathématique. Savoir formuler des propositions, comprendre les connecteurs logiques (et, ou, implication, équivalence) et les différentes méthodes de démonstration (directe, par récurrence, par contraposée, par l'absurde).

2. Les ensembles

Acquérir le langage ensembliste de base. Comprendre et manipuler les opérations sur les ensembles (union, intersection, complémentaire, produit cartésien) et leurs propriétés. Savoir travailler avec des familles d'ensembles.

3. Les applications

Comprendre la notion d'application et distinguer les différents types d'applications (injectives, surjectives, bijectives). Maîtriser la composition des applications et le concept d'application réciproque. Savoir déterminer des images directes et réciproques.

4. Structures algébriques

Appréhender les structures algébriques fondamentales (groupes, anneaux, corps). Reconnaître les propriétés des lois de composition (associativité, commutativité, éléments neutres et symétriques). Savoir identifier des sous-structures.

5. Anneau des polynômes

Maîtriser les opérations sur les polynômes (addition, multiplication, division euclidienne). Comprendre les concepts de racines et de multiplicité. Savoir déterminer le PGCD de deux polynômes (algorithme d'Euclide) et utiliser l'identité de Bézout.

6. Fractions rationnelles

Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples dans ℝ(X). Comprendre les différentes étapes de la décomposition selon la nature des pôles. Maîtriser cette technique essentielle pour le calcul intégral.

7. Espaces vectoriels

Comprendre la structure d'espace vectoriel et ses propriétés fondamentales. Savoir manipuler les sous-espaces vectoriels, les sommes directes. Maîtriser les concepts de famille génératrice, libre, liée et de base. Comprendre la notion de dimension.

8. Applications linéaires

Reconnaître et construire des applications linéaires. Déterminer noyau et image d'une application linéaire. Comprendre les notions d'endomorphisme et d'isomorphisme. Savoir composer des applications linéaires.

9. Matrices

Maîtriser les opérations matricielles de base. Calculer des déterminants et comprendre leurs propriétés. Savoir inverser une matrice carrée inversible. Comprendre le lien entre applications linéaires et matrices. Maîtriser les changements de base.

10. Systèmes linéaires

Résoudre des systèmes d'équations linéaires par différentes méthodes (Cramer, Gauss). Distinguer les différents cas possibles (solution unique, infinité de solutions, pas de solution). Comprendre le lien avec les applications linéaires.

11. Réduction des matrices

Calculer valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice. Comprendre la notion de diagonalisation. Savoir déterminer si une matrice est diagonalisable et la réduire lorsque c'est possible. Appliquer ces concepts à des problèmes concrets.