Introduction :

Le programme d'algèbre pour la première année est destiné aux étudiants des trois spécialités : Mathématiques, Physique, Chimie.

Il est conçu de telle sorte que les étudiants puissent connaître les méthodes de calcul et les concepts généraux qu'ils auront besoin dans n'importe quelle spécialité.

Parmi ces concepts et ces méthodes de calcul commune à toutes les spécialités, nous citons : le calcul matriciel, le calcul des déterminants, le calcul des valeurs propres et des vecteurs propres et ceci sans trop de tailler le contenu théorique ; néanmoins la compréhension des méthodes de calcul et leur utilisation doit passer par des justifications théoriques et l'étude de quelques définitions sans lesquelles on ne peut étudier l'espace vectoriel, duquel découle tout le calcul matriciel et des systèmes d'équations linéaires.

Pour le calcul de valeurs propres et de vecteurs propres, la décomposition des fractions en éléments simples utilisée dans le calcul des primitives, on doit connaître les polynômes, l'addition, la multiplication et la division de polynômes ainsi que les racines des polynômes et leur multiplicité, donc on a mis le chapitre concernant les polynômes.

Pour celui qui veut reporter le chapitre des polynômes et de la décomposition des fractions à la fin du programme, il doit, avant l'étude du chapitre de la réduction diagonale, définir l'écriture d'un polynôme, l'addition, la multiplication et la division des polynômes, racine d'un polynôme et l'ordre de sa multiplicité.

Le volume horaire consacré aux chapitres 1,2,3 et 4 ne doit pas dépasser 09 heures.

1) Quelques notions élémentaires de logique

• La proposition et sa négation
• Définition de l'implication
• Les propriétés d'associativité et de commutativité des "et" et "ou" et la propriété de distributivité de l'une sur l'autre entre propositions
• Équivalence des propositions
• Démonstration par récurrence, contraposée, absurde
• Tableau de vérité

2) Les ensembles :

• La notion d'ensemble
• L'appartenance ∈ - la non appartenance ∉
• L'inclusion ⊂ - l'ensemble vide ∅ est inclue dans chaque ensemble
• La non inclusion ⊄
• Égalité entre deux ensembles
• Réunion et intersection de deux ensembles
• Famille finie d'ensemble
• La propriété d'associativité et de commutativité de la réunion et de l'intersection
• La propriété de distributivité de l'un sur l'autre
• La différence et la différence symétrique de deux ensembles
• Ensemble de parties d'un ensemble
• Complémentaire d'un ensemble
• Partition d'un ensemble
• Le produit cartésien de deux ensembles, d'une famille finie d'ensemble, d'un ensemble par lui même n fois, Eⁿ n fois

3) Les applications :

• Définition d'une application
• Égalité de deux applications
• L'application identité
• L'application : injective, surjective, bijective
• La composition des applications et quelle n'est pas commutative d'une manière générale avec des exemples
• L'application réciproque d'une application bijective
• L'image directe et l'image réciproque avec des exemples
• Le graphe d'une application

4) La loi de décomposition interne et les structures algébriques principales

• Définition de la décomposition interne avec des exemples
• Définition de : propriété d'associativité de la loi de composition interne, d'élément neutre, d'élément symétrique, propriété de commutativité
• Définition d'un groupe et d'un sous-groupe, d'un anneau et d'un sous anneau, d'un corps et d'un sous corps avec des exemples

5) Anneau de l'ensemble des polynômes K[X] avec K corps commutatif

• Définition et écriture d'un polynôme
• Polynôme nul
• Égalité de deux polynômes
• Degré d'un polynôme
• Addition et multiplication des polynômes
• Degré de l'addition et la multiplication de deux polynômes
• Racine d'un polynôme et l'ordre de sa multiplicité
• Dérivée d'un polynôme
• Définition d'un polynôme irréductible
• Décomposition d'un polynôme en produit de polynômes irréductibles
• Théorème de D'Alembert - Gauss
• La division euclidienne et la division suivant
• La puissance croissante des polynômes
• La définition du plus grand commun diviseur et le plus petit commun diviseur de deux polynômes
• Polynômes premiers entre eux et l'égalité de Bezout
• L'algorithme d'Euclide pour déterminer le plus grand commun diviseur et les coefficients de bezout pour deux polynômes avec des exemples

6) La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples

• Le rappel de la définition d'une fraction rationnelle avec des coefficients dans un corps commutatif K
• Citation, sans preuve, du théorème fondamental de la décomposition des fractions rationnelles
• La donnée de méthodes pratiques pour la décomposition des fractions rationnelles dans ℝ(X) avec divers exemples ordonnés selon le degré de difficulté

7) L'espace vectoriel :

• Définition de l'espace vectoriel
• Règles élémentaires de calcul dans un espace vectoriel
• Le sous-espace vectoriel
• La réunion et l'intersection de deux sous-espaces vectoriels
• La somme et la somme directe de deux sous-espaces vectoriels
• Système générateur
• Famille linéairement indépendante
• Définition d'une base
• Complété d'une base
• Existence d'une base dans un espace vectoriel et égalité des puissances entre bases
• L'espace vectoriel - dimension d'un espace vectoriel
• Dimension d'un sous-espace vectoriel
• L'ordre d'un système de vecteurs dans un espace vectoriel
• Des exemples dans l'espace vectoriel ℝⁿ

8) L'application linéaire :

• Définition d'une application linéaire
• Les propriétés fondamentales d'une application linéaire
• Le noyau d'une application linéaire
• L'endomorphisme d'espace vectoriel
• L'isomorphisme entre deux espaces vectoriels
• La composition de deux applications linéaires
• Des exemples pratiques

9) Les matrices à coefficients dans un corps commutatif

• Définition d'une matrice
• Addition et multiplication des matrices
• Multiplication d'une matrice par un élément d'un corps
• Signaler que l'ensemble des matrices M_n,p(K) à coefficients dans un corps K muni de l'addition et de la loi externe qui est la multiplication par un élément du corps K est un espace vectoriel sur le corps K de dimension n×p
• Le déterminant d'une matrice carré et la méthode de son calcul
• Quelques propriétés du déterminant qui nous facilitent son calcul avec des exemples
• Calcul de l'inverse d'une matrice qui a un déterminant non nul
• Matrice d'une application linéaire
• Matrice d'une composition de deux applications linéaires
• Matrice de passage entre deux espaces vectoriels
• Changement de base
• Rang d'une matrice avec des opérations simples sur les matrices (échelonnement) pour faciliter le calcul du rang d'un système de vecteurs en utilisant l'échelonnement

10) Système d'équations linéaires

L'écriture d'un système d'équations linéaires sous la forme :

AX = B

et l'étude des trois cas :

• n = m (système de cramer)
• n < m
• n > m

avec la présentation de méthodes pratiques par la résolution de toutes ces trois formes des équations linéaires - exemples.

11) La réduction diagonale des matrices

• Définition du polynôme caractéristique d'une matrice carré et d'un endomorphisme d'un espace vectoriel et une méthode pour son calcul
• Les Vecteurs propres et le sous-espace vectoriel propre et une méthode pour le déterminer
• Les matrices semblables et la notion de la réduction diagonale des matrices
• La condition nécessaire et suffisante pour la réduction diagonale des matrices carrées
• Méthode de réduction diagonale avec exemples