Solution de l'exercice 7 :
Soit \(f:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,+\infty[\) une application definie par \(f\left(x\right)=x^{2}-1\).
1) On a \(f\left(-1\right)=0\) et \(f\left(1\right)=0\), et donc \(f\left(\{-1,1\}\right)=\{0\}\).
On a \(f\left([2,4]\right)=\{f\left(x\right),x\in[2,4]\}\),
\[x\in[2,4] \implies 2\leqslant x\leqslant 4\implies 4\leqslant x^{2}\leqslant 16 \implies 3\leqslant x^{2}-1\leqslant 15\] \[\implies 3\leqslant f\left(x\right)\leqslant 15\implies f\left(x\right)\in[3,15]\,.\]
D'où, \(f\left([2,4]\right)=\left[3,15\right].\)
On a \(f^{-1}\left(\{[8,24[\}]\right)=\{x\in\mathbb{R},f\left(x\right)\in[8,24[\}\),
\[f\left(x\right)\in\left|8,24\right| \implies 8
D'où, \(f^{-1}\left(\{[8,24[\}]\right)=\left]-5,-3[\cup\left|3,5\right|\).
2) Comme \(f\left(-1\right)=0\) et \(f\left(1\right)=0\) alors \(f\) n'est pas injective.
Soit \(y\in[-1,+\infty[\),
\[f\left(x\right)=y \iff x^{2}-1=y\] \[\iff x^{2}=y+1\] \[\iff x=-\sqrt{y+1}\text{ on }x=\sqrt{y+1},\]
donc pour tout \(y\in[-1,+\infty[\) l'equation \(f\left(x\right)=y\) admet au moins une solution \(x\) dans \(\mathbb{R}\). C'est-a-dire \(f\) est surjective.
Solution de l'exercice 8 :
1. Soit \(y>0\). Alors on a
On pose alors \(X=e^{x}\), et l'equation est equivalente a l'equation du second degre
\[X^{2}+2X-y=0.\]
\(\Delta=4y+4\), et donc
\[X_{1}=-1-\sqrt{y+1}<0\ \ {\rm et}\ \ X_{2}=-1+\sqrt{y+1}>0.\]
Mais \(X=e^{x}>0\), et donc on a
\[y=f\left(x\right) \Longleftrightarrow e^{x}=-1+\sqrt{y+1}\] \[\Longleftrightarrow x=\ln\left(-1+\sqrt{y+1}\right)\]
L'equation \(y=f\left(x\right)\) admet donc une unique solution.
On deduit que l'application \(f\) est bijective et elle admet donc une application reciproque \(f^{-1}:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}\) definie par
\[f^{-1}\left(y\right)=\ln\left(-1+\sqrt{y+1}\right)\]
ou bien
\[f^{-1}\left(x\right)=\ln\left(-1+\sqrt{x+1}\right).\]
2. Soit \(x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\),
\[f\circ g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(2\ln x\right)=e^{2\left(2\ln x\right)}+2e^{2\ln x}=e^{\ln x^{4}}+2e^{\ln x^{2}}=x^{4}+2x^{2}.\]
Soit \(x\in\mathbb{R}\),
\[g\circ f\left(x\right) = g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^{2x}+2e^{x}\right)=2\ln\left(e^{2x}+2e^{x}\right)=2\ln\left[e^{x}\left(e^{x}+2\right)\right]\] \[= 2\ln\left(e^{x}\right)+2\ln\left(e^{x}+2\right)=2x+2\ln\left(e^{x}+2\right).\]
Solution de l'exercice 9 :
On considere trois ensembles \(A\), \(B\) et \(C\) et deux applications \(f:A\longrightarrow B\), \(g:B\longrightarrow C\).
a) Montrons que : \(g\circ f\) injective \(\Longrightarrow f\) injective.
Soient \(x_{1}\), \(x_{2}\in A\),
\[f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \Longrightarrow g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)\] \[\Longrightarrow g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\] \[\Longrightarrow x_{1}=x_{2}\quad{\rm car}\ g\circ f\ {\rm est\ injective}\]
Ce qui montre que \(f\) est injective.
b) Montrons que : \(g\circ f\) surjective \(\Longrightarrow g\) surjective.
Soit \(y\in C\), puisque \(g\circ f\) est surjective alors il existe \(x\in A\) tel que \(y=g\circ f\left(x\right)\).
Or \(y=g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(t\right)\) avec \(t=f\left(x\right)\in B\).
Donc \(\forall y\in C\), \(\exists t\in B\), \(y=g\left(t\right)\).
Ce qui montre que \(g\) est surjective.