📘 Résumé de cours : Fonctions injectives, surjectives, bijectives — Images et composition

1. Fonctions injectives, surjectives et bijectives

Soit une application f : A → B :

• Injective : f(x₁) = f(x₂) implique x₁ = x₂. Chaque image est unique.
• Surjective : tout élément de B est l’image d’au moins un élément de A.
• Bijective : f est à la fois injective et surjective (correspondance parfaite entre A et B).

Composition de fonctions

Définition

Soient deux fonctions : f : A → B et g : B → C.

La composition de g et f, notée g ∘ f, est définie par :

(g ∘ f)(x) = g(f(x)) pour tout x ∈ A

Propriétés générales

• Associativité : pour des fonctions f : A → B, g : B → C, h : C → D, on a :
  h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
• Fonction identité : soit id_A(x) = x pour tout x ∈ A, alors :
  • f ∘ id_A = f
  • id_B ∘ f = f

Propriétés d'injectivité et surjectivité

• Si g ∘ f est injective ⇒ f est injective.
• Si g ∘ f est surjective ⇒ g est surjective.
• Si g ∘ f est bijective ⇒ f est injective et g est surjective.