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 Université de Dr. Moulay Tahar . saida 

Faculté de Sciences 

École Normale Supérieure de Saïda

Département  de Mathématique

Niveau : 1 PES &1 PEM

Module : Algèbre

Solution de fiche TD : Les Structures Algébriques

Exercice 05:

1)

Soient \( x, y \in G \), \[ (x * y)^{-1} * x * y = e \implies (x * y)^{-1} * x * y * y^{-1} = e * y^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} * x * e = y^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} * x = y^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} * x * x^{-1} = y^{-1} * x^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} * e = y^{-1} * x^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1}. \]

Donc \( \forall x, y \in G, \, (x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1} \).

2)

(i)

Supposons que \( * \) est commutative. On a \[ f(x * y) = (x * y)^{-1} = y^{-1} * x^{-1} = f(y) * f(x) = f(x) * f(y). \] D'où \( f \) est un morphisme.

(ii)

Supposons que \( f \) est un morphisme. On a \[ f(x * y) = f(x) * f(y) \implies (x * y)^{-1} = x^{-1} * y^{-1} \] \[ \implies (x * y)^{-1} * x * y = x^{-1} * y^{-1} * x * y \] \[ \implies e = x^{-1} * y^{-1} * x * y \] \[ \implies x * e = x * x^{-1} * y^{-1} * x * y \] \[ \implies x = e * y^{-1} * x * y \] \[ \implies x = y^{-1} * x * y \] \[ \implies y * x = y * y^{-1} * x * y \] \[ \implies y * x = e * x * y \] \[ \implies y * x = x * y. \]

C'est-à-dire, la loi \( * \) est commutative.

  Exercice 06:

On a \( 4\mathbb{Z} = \{4k, k \in \mathbb{Z}\} \).

Il est clair que l'élément neutre \( 0 \in 4\mathbb{Z} \).

Soient \( x, y \in 4\mathbb{Z} \), donc il existe deux entiers relatifs \( k_1 \) et \( k_2 \) tels que \( x = 4k_1 \) et \( y = 4k_2 \).

On sait que \( y^{-1} = -y \) est l'inverse de \( y \) par rapport à l'addition \( + \).

Ainsi, on obtient \[ x + y^{-1} = x - y = 4k_1 - 4k_2 = 4(k_1 - k_2) = 4k \quad (k = k_1 - k_2 \in \mathbb{Z}). \]

D'où, \( x + y^{-1} \in 4\mathbb{Z} \). Et par conséquent, \( (4\mathbb{Z}, +) \) est un sous-groupe du groupe \( (\mathbb{Z}, +) \).

  Exercice 07:

Comme \( H \) est un sous-groupe de \( G \) alors \( e \in H \), et par suite, si \( h \in H \) alors \[ h \star e \star h^{-1} = h \star h^{-1} = e \in F. \]

Soient \( x, y \in F \), donc il existe \( h_1, h_2 \in H \) tels que \[ x = a \star h_1 \star a^{-1} \text{ et } y = a \star h_2 \star a^{-1}. \]

Or, \[ y^{-1} = \left(a \star h_2 \star a^{-1}\right)^{-1} = \left(a^{-1}\right)^{-1} \star h_2^{-1} \star a^{-1} = a \star h_2^{-1} \star a^{-1}. \]

Il s'ensuit que, \[ x \star y^{-1} = a \star h_1 \star a^{-1} \star a \star h_2^{-1} \star a^{-1} = a \star h_1 \star e \star h_2^{-1} \star a^{-1} = a \star h_1 \star h_2^{-1} \star a^{-1} = a \star h \star a^{-1} \] où \( h = h_1 \star h_2^{-1} \).

Comme \( H \) est un sous-groupe de \( G \) alors \( h = h_1 \star h_2^{-1} \in H \).

Donc, \( x \star y^{-1} \in F \).

On déduit que, \( F = \{a \star h \star a^{-1}, h \in H\} \) est un sous-groupe de \( G \).