Exercice 7:

Montrer que l’application \(f : \mathbb{N} \to \mathbb{Z}\), définie par :

\[ f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2}, & \text{si } n \text{ est pair}, \\\\ -\frac{n+1}{2}, & \text{si } n \text{ est impair}. \end{cases} \]

est bijective.

Exercice 8:

Soient \(A\) et \(B\) deux parties non vides d’un ensemble \(E\). On considère l’application \(f : P(E) \to P(A) \times P(B)\), définie par :

\(f(X) = (X \cap A, X \cap B)\).

• Montrer que \(f\) est injective si et seulement si \(A \cup B = E\).
• Montrer que \(f\) est surjective si et seulement si \(A \cap B = \emptyset\).
• Donner une condition nécessaire et suffisante sur les ensembles \(A\) et \(B\) pour que \(f\) soit bijective.

Exercice 9:

On considère trois ensembles \(A\), \(B\), \(C\), et deux applications \(f : A \to B\), \(g : B \to C\). Montrer que :

• \(g \circ f\) est injective \(\Rightarrow f\) est injective.
• \(g \circ f\) est surjective \(\Rightarrow g\) est surjective.