Solutions des exercices - TD N°1

Exercice 4

Raisonnement par cas :

• Si \( n \) est pair, alors \( n = 2k \) avec \( k \in \mathbb{N} \). On a : \[ n^2 + 3n + 2 = (2k)^2 + 3(2k) + 2 = 4k^2 + 6k + 2 = 2(2k^2 + 3k + 1) \] Donc \( n^2 + 3n + 2 \) est pair.
• Si \( n \) est impair, alors \( n = 2k + 1 \) avec \( k \in \mathbb{N} \). On a : \[ n^2 + 3n + 2 = (2k + 1)^2 + 3(2k + 1) + 2 = 4k^2 + 10k + 6 = 2(2k^2 + 5k + 3) \] Donc \( n^2 + 3n + 2 \) est également pair.

Conclusion : pour tout \( n \in \mathbb{N} \), \( n^2 + 3n + 2 \) est pair.

Exercice 5

Pour \( n = 12 \) :

• \( 2 \) divise \( 12 \),
• \( 4 \) divise \( 12 \),
• mais \( 8 \) ne divise pas \( 12 \),

Donc, l’implication :

Par conséquent, l’assertion :

Exercice 6

Contre-exemple : prenons \( x = -3 \).

• \( x \leq 2 \) est vrai,
• mais \( x^2 = 9 \), ce qui est supérieur à 4.

Donc, l’assertion est fausse.