Vérifier si les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel ℝ³ :

1. E₁ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0}
2. E₂ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | y − 3x = 0 et z = 0}
3. E₃ = {(x, 2x, x) | x ∈ ℝ}
4. E₄ = {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x² − z² = 0}

Soient dans ℝ⁴ les vecteurs u₁ = (1, 2, 3, 4) et u₂ = (1, −2, 3, −4). Peut-on déterminer les réels x et y pour lesquels :

1. (x, 1, 1, y) ∈ vect(u₁, u₂) ?
2. (x, 1, 1, y) ∈ vect(u₁, u₂) ?

vect(u₁, u₂) est-il un sous-espace vectoriel engendré par u₁ et u₂ ?