الدرس الخامس: مقاييس التشتت
تمهيد:
التشتت هو مدى تقارب أو تباعد البيانات عن بعضها البعض، أي عن متوسطها الحسابي، فكلما كانت قريبة من متوسطها الحسابي، كانت البيانات متجانسة، وكلما كانت بعيدة من متوسطها الحسابي، كانت البيانات متشتتة. ومن أهم مقاييس التشتت: المدى، الانحراف المعياري، التباين، الانحراف المتوسط.....، وفيما يلي عرض لأهم هذه المقاييس.
تعريفه هو الفرق بين أكبر قيمة في مجموعة البيانات ويرمز له : R1. المدى (
R1 بالرمز
أ. حساب المدى للبيانات غير المبوبة (المفردة):
مثال: أوجد المدى للبيانات التالية:
X:50.55.35.45.40.30.25.
الحل:
نستخدم العلاقة التالية:
R= Xmax - Xmin
بحيث:
(x) : أقصى قيمة للمتغيرXmax
(x) : أدنى قيمة للمتغير Xmin
بالتعويض
R= Xmax – Xmin= 55-25=30
ب. حساب المدى للبيانات المبوبة (المفردة):
مثال: أوجد المدى للبيانات التالية:
|
(c)الفئات |
55 -60 |
60 -65 |
65 -70 |
70 -75 |
75 -80 |
80 -85 |
85 -90 |
|
التكرارات(f) |
10 |
12 |
13 |
16 |
10 |
4 |
5 |
نستخدم العلاقة التالية:
الحد الأدنى للفئة الأولى - الحد الأدنى للفئة الأخيرة = المدى R
بالتعويض في العلاقة:
R= 90-55=35
. الانحراف المعياري (S) :
يعتبر المتوسط الحسابي من أفضل مقاييس النزعة المركزية أكثرها استخداما في التحليل الإحصائي، وذلك لما يتمتع به من خصائص وصفات إحصائية جيدة.
تعريفه: هو الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات (فروق) القيم عن متوسطها الحسابي، ويرمز له بالرمز ( S)
و يحسب الانحراف المعياري بطريقتين:
الطريقة الأولى:
s=√(∑(X-x ̅ )2/(n-1)
ويحسب الانحراف المعياري بالاعتماد على
الطريقة الثانية:
s=√(N∑X2-(∑X2))/(N(N-1))
بحيث يحسب الانحراف المعياري دون الاعتماد على
نعطي مثال نوضح فيه تطبيق الانحراف المعياري بطريقتين:
مثال لتكن البيانات موزعة في جدول بسيط على النحو التالي
|
N |
X |
(X-x ̅) |
(X-x ̅)〗2 |
|
1 |
2 |
-6 |
36 |
|
2 |
3 |
-5 |
25 |
|
3 |
6 |
-2 |
4 |
|
4 |
7 |
-1 |
1 |
|
5 |
11 |
3 |
3 |
|
6 |
13 |
5 |
25 |
|
7 |
14 |
6 |
36 |
|
∑ |
/ |
/ |
136 |
أولا: حساب الانحراف المعياري بالطريقة الأولى: نشكل جدول كما هو موضح أعلاه
نحسب المتوسط الحسابي:
x ̅ =(∑x )/n =56/7
:إذن الانحراف المعياري هو
s=√(∑(X-x ̅ ) 2/(n-1)= √136/6=√22
S = ± 4.69
ثانيا: حساب الانحراف المعياري بالطريقة الثانية:
نحافظ على نفس المثال السابق ونشكل جدول على النحو الأتي:
|
N |
X |
(X)2 |
|
1 |
2 |
4 |
|
2 |
3 |
9 |
|
3 |
6 |
36 |
|
4 |
7 |
49 |
|
5 |
11 |
121 |
|
6 |
13 |
169 |
|
7 |
14 |
196 |
|
∑ |
56 |
584 |
s=√(N∑X2-(∑X2))/(N(N-1))
s=√(7584-(56)2))/(7*6)
s=√(4088-3136))/42= √952/42
s=√22=√952/42
s=± 4.69
. التباين: يعتبر من مقاييس التشتت وهو عبارة عن مربع الانحراف المعياري ويرمز له بالرمز
ملاحظة: الانحراف المعياري أدق من التباين لا يقاس بنفس وحدات المتغير وإنما بوحدات مربعة في حين أن الانحراف المعياري يقاس بنفس وحدات المتغير.