Pour la fonction f(x) = sin(x) sur l’intervalle [0, π/2], l’intégrale exacte est :

∫₀^π/2 sin(x) dx

En utilisant la formule de Simpson 1/3 simple sur les trois points 0, π/4 et π/2 :

∫₀^π/2 sin(x) dx ≃ (π/8) [ sin(0) + 4 sin(π/4) + sin(π/2) ] ≃ 1,0022799

Pour améliorer la précision, on divise l’intervalle [a, b] en 2n sous-intervalles et on applique la méthode de Simpson 1/3 simple à chaque paire de sous-intervalles. On obtient ainsi la formule composée :

∫_a^b f(x) dx ≃ ∑_i=0ⁿ⁻¹ ∫_x₂i^x₂i+2 f(x) dx ≃ ∑_i=0ⁿ⁻¹ (h/3) [ f(x₂i) + 4 f(x₂i+1) + f(x₂i+2) ]

En regroupant tous les termes, on obtient :

∫_a^b f(x) dx ≃ (h/3) [ f(x₀) + 4 f(x₁) + 2 f(x₂) + 4 f(x₃) + 2 f(x₄) + … + 4 f(x₂n−1) + f(x₂n) ]

Tous les termes d’indice impair sont multipliés par 4, les termes d’indice pair (sauf le premier et le dernier) sont multipliés par 2.

L’erreur totale de la méthode composée est :

h = (b−a)/(2n), n = (b−a)/(2h)

Erreur totale = n × [ − f⁽⁴⁾(η) h⁵ / 90 ] = − (b−a) h⁴ / 180 f⁽⁴⁾(η)

Remarque : Le terme d’erreur de la méthode de Simpson 1/3 composée est :

− (b−a) h⁴ / 180 f⁽⁴⁾(η), η ∈ [a, b]

Cette méthode est donc d’ordre 4 et exacte pour les polynômes de degré ≤ 3. Le degré d’exactitude est donc 3.