📘 Résumé : Polynômes et fonctions rationnelles

1. Polynôme

Un polynôme à coefficients dans un corps K est une expression de la forme :

P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, avec aᵢ ∈ K et aₙ ≠ 0

Le plus grand entier n tel que aₙ ≠ 0 est le degré du polynôme.

2. Racine d’un polynôme

Un élément α ∈ K est une racine de P(x) si P(α) = 0.

Alors, P(x) est divisible par (x - α).

3. Divisibilité

Un polynôme P(x) est divisible par un polynôme D(x) s’il existe Q(x) tel que :

P(x) = D(x) × Q(x)

4. Formule de Taylor (développement limité)

La formule de Taylor au point a s’écrit :

f(x) = f(a) + f′(a)(x-a) + f″(a)(x-a)²/2! + ... + f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ/n! + Rₙ(x)

Elle permet d’approximer une fonction par un polynôme de degré n.

5. Produit de polynômes irréductibles

Tout polynôme non nul peut être écrit (dans un corps) comme un produit de polynômes irréductibles :

P(x) = c × P₁(x) × P₂(x) × ... × Pₖ(x), avec Pᵢ irréductibles dans K[x].

6. Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un rapport de deux polynômes :

F(x) = A(x)/B(x), avec B(x) ≠ 0.

On peut décomposer une fraction rationnelle en éléments simples dans certains cas (cas des décompositions en fractions partielles).