📘 Résumé des notions fondamentales en algèbre

1. Groupe

Un groupe est un ensemble G muni d’une loi ⋆ telle que :

• Associativité : (a ⋆ b) ⋆ c = a ⋆ (b ⋆ c)
• Élément neutre : il existe e tel que a ⋆ e = e ⋆ a = a
• Inverse : tout élément a admet un inverse a⁻¹ tel que a ⋆ a⁻¹ = e

2. Loi commutative

Une loi est commutative si a ⋆ b = b ⋆ a pour tous a, b ∈ G. Un groupe commutatif est appelé un groupe abélien.

3. Élément neutre

Un élément neutre e vérifie a ⋆ e = e ⋆ a = a pour tout a.

4. Isomorphisme de groupes

Un isomorphisme de groupes est une application f : G → G′ telle que :

• f est bijective
• f(a ⋆ b) = f(a) ⋆′ f(b) pour tous a, b ∈ G

Deux groupes isomorphes ont la même structure algébrique.

5. Morphisme

Un morphisme est une fonction qui respecte les lois de deux structures. Par exemple, un morphisme d’anneaux f : A → B vérifie :

• f(a + b) = f(a) + f(b)
• f(a × b) = f(a) × f(b)

6. Anneau commutatif unitaire

Un anneau (A, +, ×) est un ensemble avec :

• (A, +) est un groupe abélien
• (A, ×) est associative et distributive sur +
• Commutatif : a × b = b × a
• Unitaire : il existe 1 ∈ A tel que 1 × a = a

7. Corps

Un corps est un anneau commutatif unitaire où tout élément non nul est inversible :

• ∀ a ∈ A, a ≠ 0 ⇒ ∃ a⁻¹ ∈ A tel que a × a⁻¹ = 1