Exercice 5

Soient \(B = (e_1, e_2, e_3)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^3\) et \(f\) une application linéaire définie par : \[ \begin{cases} f(e_1) = e_1 - e_2 + 3 e_3 \\ f(e_2) = - e_1 + e_2 - 2 e_3 \\ f(e_3) = 2 e_1 + e_2 + e_3 \end{cases} \]

1. Déterminer la matrice \(M\) de \(f\) dans la base canonique \(B\).
2. Déterminer l’application linéaire \(f\) associée à \(M\).
3. Soit \(B' = (e'_1, e'_2, e'_3)\) avec : \[ \begin{cases} e'_1 = 2 e_1 + e_2 \\ e'_2 = 2 e_1 - 2 e_2 \\ e'_3 = 2 e_3 \end{cases} \] Montrer que \(B'\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
4. Déterminer la matrice de passage de \(B\) à \(B'\), puis de \(B'\) à \(B\).
5. Soit \(X \in \mathbb{R}^3\) tel que \(X = e_1 - e_3\). Trouver ses coordonnées dans la base \(B'\).
6. Déterminer la matrice \(A\) associée à \(f\) par rapport à la base \(B'\).

Exercice 6

En utilisant la méthode de Cramer, résoudre les systèmes linéaires suivants :

1. \[ \begin{cases} 5x - 8y = 1 \\ -7x + 3y = -4 \end{cases} \]
2. \[ \begin{cases} 3x - 2y + z = 0 \\ -2x + y - z = -1 \\ 2x - 4y + 5z = 2 \end{cases} \]
3. \[ \begin{cases} 2i x + y = -3 + i \\ 2x + (1 + i) z = 6 \\ (1 - i) y - 6z = 3i \end{cases} \quad \text{avec } i^2 = -1 \]