Exercice 3:

Soit le polynôme :

\[P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6.\]

1. Montrer que \(-2\) est une racine du polynôme \( P(x) \).
2. Déduire que \( P(x) \) est divisible par \((x + 2)\).
3. Déterminer les réels \( a, b \) et \( c \) tels que :

\[P(x) = (x + 2)(ax^2 + bx + c)\]

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l'équation :

\[x^2 + 2x - 3 = 0.\]

1. Résoudre dans \( \mathbb{R} : P(x) \geq 0 \).
2. Déduire une solution de l'équation :

\[(\sqrt{x - 1})^3 + 4(\sqrt{x - 1})^2 + (\sqrt{x - 1}) - 6 = 0.\]

Exercice 4:

Soit le polynôme \( P \) :

\[P(x) = x^5 - 3x^4 - x^3 + 11x^2 - 12x + 4.\]

1. Montrer que 1 est une racine triple de \( P(x) \).
2. Donner la formule de Taylor de \( P(x) \) au point 1.
3. Décomposer \( P(x) \) en produit de polynômes irréductibles dans \( \mathbb{R}[x] \).
4. Décomposer la fraction rationnelle \( F(x) \) telle que :

\[F(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{P(x)}\]

dans \( \mathbb{R}(x) \).