Interpolation polynomiale

On se donne un ensemble de \( n+1 \) points \((x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)\). Le problème est le suivant : existe-t-il un polynôme \( p_n \) de degré inférieur ou égal à \( n \) tel que :

\[ p_n(x_i) = y_i \quad \text{pour } i = 0, 1, \dots, n \, ? \]

Théorème — Existence et unicité

Si les \( x_i \) sont deux à deux distincts (c’est-à-dire \( x_i \ne x_j \) pour \( i \ne j \)), alors il existe un unique polynôme \( p_n \) de degré inférieur ou égal à \( n \) tel que :

\[ p_n(x_i) = y_i \quad \text{pour tous } i = 0, 1, \dots, n \]

1.1 Interpolation de Lagrange

L'interpolation de Lagrange fournit une méthode directe pour construire ce polynôme. Elle ne nécessite pas la résolution d’un système linéaire.

Le polynôme d'interpolation s’écrit comme une combinaison linéaire :

\[ L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot \ell_i(x) \]

où \( \ell_i(x) \) sont les polynômes de base de Lagrange définis par :

\[ \ell_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \ne i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j} \]

Chaque \( \ell_i(x) \) est un polynôme de degré \( n \), tel que :

• \( \ell_i(x_i) = 1 \)
• \( \ell_i(x_j) = 0 \) pour \( j \ne i \)

Exemple 1 : Interpolation linéaire (n = 1)

Soit deux points : \( (x_0, y_0) = (1, 2) \) et \( (x_1, y_1) = (3, 4) \).

Le polynôme de Lagrange est :

\[ p_1(x) = y_0 \cdot \frac{x - x_1}{x_0 - x_1} + y_1 \cdot \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \] \[ p_1(x) = 2 \cdot \frac{x - 3}{1 - 3} + 4 \cdot \frac{x - 1}{3 - 1} \] \[ p_1(x) = 2 \cdot \frac{x - 3}{-2} + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} \] \[ p_1(x) = - (x - 3) + 2(x - 1) = -x + 3 + 2x - 2 = x + 1 \]

Donc, le polynôme interpolant est \( p_1(x) = x + 1 \).

Exemple 2 : Interpolation quadratique (n = 2)

Soit trois points : \( (1, 2), (2, 3), (4, 1) \).

On calcule les polynômes de base :

\[ \ell_0(x) = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(1 - 2)(1 - 4)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{(-1)(-3)} = \frac{(x - 2)(x - 4)}{3} \] \[ \ell_1(x) = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(2 - 1)(2 - 4)} = \frac{(x - 1)(x - 4)}{(1)(-2)} = -\frac{(x - 1)(x - 4)}{2} \] \[ \ell_2(x) = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(4 - 1)(4 - 2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(3)(2)} = \frac{(x - 1)(x - 2)}{6} \]

Le polynôme interpolant est donc :

\[ p_2(x) = 2 \cdot \ell_0(x) + 3 \cdot \ell_1(x) + 1 \cdot \ell_2(x) \]

On peut ensuite développer si besoin.

Remarques

• L’interpolation de Lagrange est facile à écrire mais coûteuse à évaluer si \( n \) est grand.
• Elle est surtout utile pour des interpolations ponctuelles ou symboliques.
• Des méthodes plus efficaces existent pour le calcul numérique, comme la forme de Newton.