Définition d’un espace vectoriel

Un espace vectoriel \( E \) sur un corps \( \mathbb{K} \) est un ensemble muni de deux opérations (addition et multiplication scalaire) satisfaisant 8 axiomes.

Règles élémentaires de calcul

Les vecteurs peuvent être additionnés et multipliés par des scalaires selon les lois de l’algèbre linéaire.

Sous-espace vectoriel

Une partie \( F \subseteq E \) est un sous-espace si elle est stable par addition et multiplication scalaire, et contient le vecteur nul.

Réunion et intersection

L’intersection de deux sous-espaces est un sous-espace, mais la réunion ne l’est pas nécessairement.

Somme et somme directe

La somme \( F + G \) est l’ensemble des sommes \( u + v \) avec \( u \in F, v \in G \). Elle est dite directe si \( F \cap G = \{0\} \).

Système générateur

Une famille de vecteurs qui permet de générer tout \( E \) par combinaisons linéaires.

Famille linéairement indépendante

Une famille est libre si la seule combinaison linéaire qui donne 0 est celle où tous les coefficients sont nuls.

Base

Une famille libre et génératrice est une base de \( E \).

Complété d’une base

On peut compléter toute famille libre en une base de l’espace.

Existence d’une base

Tout espace vectoriel admet au moins une base.

Égalité des puissances

Toute base d’un espace vectoriel a le même nombre d’éléments : la dimension.

Dimension

Nombre d’éléments d’une base. Pour un sous-espace, la dimension est inférieure ou égale à celle de l’espace.