Exercice: 3
1. Calculons \( P(-2) \) :
\[P(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 6 = 0.\]
Donc \(-2\) est une racine de \( P(x) \).
2) Si \(\alpha\) est une racine du polynôme, alors \( P(x) \) est divisible par \((x - \alpha)\). Ainsi, \( P(x) \) est divisible par \((x + 2)\).
3) Trouvons les coefficients \( a, b \) et \( c \) : :\[ax^3 + bx^2 + cx + 2ax^2 + 2bx + 2c = x^3 + 4x^2 + x - 6.\] Donc : \begin{cases} P(1) = R(1) \\ P'(1) = R'(1) \end{cases} \begin{cases} a &= 1, \\ b + 2a &= 4, \\ c + 2b &= 1, \\ 2c &= -6. \end{cases} Résolvons : \begin{cases} a &= 1, \\ b &= 2, \\ c &= -3. \end{cases} Ainsi :\[P(x) = (x + 2)(x^2 + 2x - 3).\]
-
-
- Résolvons :
-
\[x^2 + 2x - 3 = 0.\]
Factorisation :
\[(x + 3)(x - 1) = 0.\]
Donc les solutions sont \( x_1 = -3 \) et \( x_2 = 1 \), soit \( S = \{-3, 1\} \).
- Étudions le signe de \( P(x) \) via un tableau de signe :
|
\( x \) |
\( -\infty \) |
\( -3 \) |
\( -2 \) |
\( 1 \) \( +\infty \) |
|
\( x + 2 \) |
- |
- |
+ |
+ |
|
\( x^2 + 2x - 3 \) |
+ |
- |
- |
+ |
|
\( P(x) \) |
- |
+ |
- |
+ |
- L’ensemble des solutions de \( P(x) > 0 \) est :
- \( ] -3, -2 [ \cup ]1, +\infty [ \).
- Posons \( t = \sqrt{x} - 1 \), on obtient :
\[t^3 + 4t^2 + t - 6 = 0.\]
Résolvons cette équation :
\[t = -3 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 = -3 \Rightarrow \sqrt{x} = -2 \, (\text{impossible}).\]
\[t = -2 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 = -2 \Rightarrow \sqrt{x} = -1 \, (\text{impossible}).\]
\[t = 1 \Rightarrow \sqrt{x} - 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4.\]
Ainsi, l’unique solution est :
\[x = 4.\]
Exercice: 4
1. 1 est une racine triple de \( P(x) \) :
\[P(1) = P'(1) = P''(1) = 0 \, \text{et} \, P^{(3)}(1) \neq 0.\]
On a :
\[P(x) = x^5 - 3x^4 - x^3 + 11x^2 - 12x + 4.\]
\[P'(x) = 5x^4 - 12x^3 - 3x^2 + 22x - 12.\]
\[P''(x) = 20x^3 - 36x^2 - 6x + 22.\]
\[P^{(3)}(x) = 60x^2 - 72x - 6.\]
Pour \(x=1\) :
\[P(1)=1-3-1+11-12+4=0.\]
\[P^{\prime}(1)=5-12-3+22-12=0.\]
\[P^{\prime\prime}(1)=20-36-6+22=0.\]
\[P^{(3)}(1)=60-72-6=-18\neq 0.\]
Donc,
1 est une racine triple de \(P(x)\).
2. La formule de Taylor de \(P(x)\) en \(x=1\) :
\[P(x)=P(1)+P^{\prime}(1)\frac{(x-1)}{1!}+P^{\prime\prime}(1)\frac{(x-1)^{2}}{2!} +P^{(3)}(1)\frac{(x-1)^{3}}{3!}\]
\[+P^{(4)}(1)\frac{(x-1)^{4}}{4!}+P^{(5)}(1)\frac{(x-1)^{5}}{5!}.\]
On a \(P(1)=P^{\prime}(1)=P^{\prime\prime}(1)=0\), et :
\[P^{(3)}(x)=60x^{2}-72x-6.\]
\[P^{(4)}(x)=120x-72,\quad P^{(4)}(1)=48.\]
\[P^{(5)}(x)=120,\quad P^{(5)}(1)=120.\]
Alors : la formule de Taylor de \(P(x)\) en \(x=1\) est :
\[P(x)=\frac{-18(x-1)^{3}}{6}+\frac{48(x-1)^{4}}{24}+\frac{120(x-1)^{5}}{120}\]
\[P(x)=-3(x-1)^{3}+2(x-1)^{4}+(x-1)^{5}\]
1. Décomposition de \(P(x)\) :
\[P(x)=(x-1)^{3}\left[-3+2(x-1)+(x-1)^{2}\right]\]
\[=(x-1)^{3}\left[-3+(x-1)(2+x-1)\right]\]
\[=(x-1)^{3}\left[x^{2}-1-3\right]\]
\[=(x-1)^{3}(x^{2}-4)\]
Donc,
\[P(x)=(x-1)^{3}(x-2)(x+2)\]
4. Expression de \( F(x) \) :
\[F(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{(x-1)^3(x-2)(x+2)}\]
Puisque,
\[x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)\]
Alors,
\[F(x) = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)^3(x-2)(x+2)} = \frac{1}{(x-1)^2(x+2)}\]
Décomposition en éléments simples :
\[F(x) = \frac{a}{(x-1)^2} + \frac{b}{x-1} + \frac{c}{x+2}\]
Multiplication par le dénominateur donne :
\[a(x+1) + b(x-1)(x+2) + c(x-1)^2 = 1\]
Développement :
\[(b+c)x^2 + (a+b-2c)x + 2b-2b+c = 1\]
Par conséquent
\[b+c = 0\]
\[a+b-2c = 0\]
\[2a-3b=1\]
Alors
\[a = \frac{1}{3}, \quad b = -\frac{1}{9}, \quad c = -\frac{1}{9}\]
Ainsi, la factorisation de \( F(x) \) est :
\[F(x) = \frac{1}{3(x-1)^3} - \frac{1}{9(x-1)} + \frac{1}{9(x+2)}\]