Exercice 1 :

Soit \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) définie par \( f(x) = \frac{2x}{1 + x^2} \).

1. Calculer \( f\left(\frac{1}{2}\right), f(2), f(0) \).
2. Résoudre dans \( \mathbb{R} \) l’équation \( f(x) = -2 \).
3. Déterminer l’image directe de \( \mathbb{R} \).
4. L’application \( f \) est-elle injective ? Surjective ? Justifier.
5. Montrer que l’application \( g : [-1 ; +1] \rightarrow [-1 ; +1] \) définie par
   \( g(x) = f(x) \) est une bijection et donner sa réciproque.

Exercice 2 :

Soient \( E, F, G \) trois ensembles, \( f : E \to F, g : F \to G \) deux applications.

a. Montrer que si \( g \circ f \) est injective, alors \( f \) est injective.
b. Montrer que si \( g \circ f \) est surjective, alors \( g \) est surjective.