V - Commande par
retour d'état des
systèmes
multivariables
(SM)
V
Introduction 83
Commande par retour d'état d'un système mono-variable 83
Commande par retour d'état d'un système multi-variable 93
Observateur d'état et commande par retour de sortie 100
Exemples d'application 114
A. Introduction
Le placement de pôles est la méthode générale utilisée pour la correction des
systèmes linéaires. Son principe consiste à déterminer une loi de commande (un
régulateur) par retour d'état de façon à ce que le système en boucle fermée ait des
pôles spécifiés par l'opérateur, cette approche assure la stabilité du système bouclé
d'une manière naturelle et permet également d'obtenir le comportement dynamique
désiré par un choix approprié des modes (pôles) du système en boucle fermée.
71
B. Commande par retour d'état d'un système mono-
variable
Cas mono-variable
Soit le système linéaire décrit par sa représentation d'état :
Supposons que tous les états du système sont mesurables, l'objectif de la synthèse
est une régulation (donc pas un asservissement), donc il s'agit de maintenir
y
proche d'une valeur de consigne
y
c
. Le schéma de la régulation est donné comme
suit :
schéma-bloc du système avec retour d'état
1. Calcul du régulateur K
Supposons que la fonction de transfert du système en boucle ouverte soit :
Avec
m
<
n
.
alors la représentation d'état sous la forme canonique de commandabilité est :
On remarque que la dernière ligne de la matrice
A
contient les coefficients du
dénominateur de la fonction de transfert.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
72
{
˙
x
=
Ax
+
Bu
y
=
Cx
F
BO
(
s
)=
b
m
s
m
+
b
m
−
1
s
m
−
1
+
⋯
+
b
1
s
+
b
0
s
n
+
a
n
−
1
s
n
−
1
+
a
n
−
2
s
n
−
2
+
⋯
+
a
1
s
+
a
0
{
˙
X
=
[
010
⋯
0
001
⋯
0
00
⋱⋱ ⋮
⋮⋮⋮⋱
1
−
a
0
−
a
1
−
a
2
⋯−
a
n
−
1
]
X
+
[
0
0
⋮
0
1
]
U
Y
=
[
b
0
b
1
⋯
b
m
0
⋯
0
]
X
Le schéma bloc (cf. schéma-bloc du système avec retour d'état p 72) précédente
donne comme commande :
On note que
K
=
[
k
0
⋯
k
n
−
1
]
est le régulateur de système (la matrice de retour
d'état) et
N
le pré-filtre.
Si le système n'est pas directement sous la forme de commandabilité, il suffit de s'y
ramener .
Avec
T
est la matrice de passage d'une représentation quelconque à sa forme
canonique commandable.
Le correcteur obtenu précédemment devra subir la transformation inverse à celle
utilisée pour obtenir la forme de commandabilité :
On note
K
c
=
[
k
c
0
⋯
k
c
n
−
1
]
est le régulateur de système récrit sous la forme
canonique de commandabilité .
Avec cette commande, le système en boucle fermée admet pour représentation
d'état :
Ainsi la fonction de transfert du système en boucle fermée s'écrit :
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
73
u
=
−
Kx
+
Ny
c
=
−
[
k
1
k
2
k
3
⋯
k
n
]
x
+
Ny
c
{
˙
x=Ax+Bu
y=Cx xc=T−1x
⏞
Transformation
{
˙
xc=Acxc+Bcu
yc=Ccxc
Wecom=
[
BcAB ⋯An−1B
]
Weccom=
[
BcAcBc⋯Ac
n−1Bc
]
T−1=(Wecom×Weccom
−1)−1
K
=
K
c
T
−
1
{
˙
X
=
[
01 0
⋯
0
00 1
⋯
0
00
⋱⋱ ⋮
⋮⋮ ⋮⋱
1
−
k
c
0
−
a
0
k
c
1
−
a
1
−
k
c
2
−
a
2
⋯−
k
c
n
−
1
−
a
n
−
1
]
X
+
[
0
0
⋮
0
1
]
Ny
c
Y
=
[
b
0
−
b
1
⋯
b
m
0
⋯
0
]
X
F
BO
(
s
)=
y
(
s
)
Ny
c
(
s
)=
b
m
s
m
+
b
m
−
1
s
m
−
1
+
⋯
+
b
1
s
+
b
0
s
n
+(
k
c
n
−
1
+
a
n
−
1
)
s
n
−
1
+(
k
c
n
−
2
+
a
n
−
2
)
s
n
−
2
+
⋯
+(
k
c
1
+
a
1
)
s
+(
k
c
0
+
a
0
)
Si le système est complétement commandable, il est possible par le choix de
K
c
de placer arbitrairement les valeurs propres du système en BF.
La dynamique désirée en BF est caractérisée par les pôles désirés en BF
donc, le régulateur permet d'imposer arbitrairement le polynôme caractéristique
(donc la dynamique) de la fonction de transfert du système en boucle fermée.
Supposons que le polynôme choisi soit :
Par identification à partir de :
Le calcul du régulateur est immédiat puisque :
Donc, la matrice de retour dans l'espace d'état
K
c
défini par
x
c
(
t
)
est donnée
par :
Finalement, le correcteur
K
c
obtenu précédemment devra subir la transformation
inverse à celle utilisée pour obtenir la forme de commandabilité. et on peut déduit
la matrice de retour dans l'espace d'état initial
K
par :
Une méthode directe peut être utilisée pour trouver la matrice de gain de
retour
K
=
[
k
0
⋯
k
n
−
1
]
. Cette méthode consiste à résoudre un système de
n
équations à
n
inconnues
K
=
[
k
0
⋯
k
n
−
1
]
Avec
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
74
λ
1,
BF
,
λ
2,
BF
,
⋯
λ
n,BF
P
BF
(
s
)=
∏
i
=
0
n
(
s
−
λ
i,BF
)=
s
n
+α
n
−
1
s
n
−
1
+
⋯
+α
1
s
+α
0
P
A
−
B
K
(
s
)=
P
BF
(
s
)
P
BF
(
s
)=
s
n
+(
k
c
n
−
1
+
a
n
−
1
)
s
n
−
1
+(
k
c
n
−
2
+
a
n
−
2
)
s
n
−
2
+
⋯
+(
k
c
1
+
a
1
)
s
+(
k
c
0
+
a
0
)
K
=
K
c
T
−
1
k
c
i
=α
i
−
a
i
(
k
c
i
+
a
i
)=α
i
Remarque
Le système en BF est commandable par
y
c
si le système en BO est
commandable par u
(
t
)
, c.à.d :
R
an
g
(
C
(
,
B
))=
R
an
g
(
C
(
−
B
K,
B
)) ,
alors La propriété de commandabilité est invariante par retour d'état.
La matrice de retour
K
offre des degrés de liberté pour : Imposer un
comportement dynamique au système et Stabiliser le système (s'il est
instable en BO)
2. Calcul de la matrice de pré-filtre N
Le modèle du système en boucle fermée est donnée par:
Si le système est stable, alors
lim
t
→∞
˙
x
(
t
)=
0
, donc
lim
t
→∞
y
(
t
)=
−
C
(
A
−
BK
)
−
1
BN y
c
Or, on désire que
lim
t
→∞
y
(
t
)=
y
c
(
t
)
, donc
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
75
P
A
−
BK
(
s
)=
det
(
s
I
−
A
+
BK
)
P
BF
(
s
)=
∏
i
=
0
n
(
s
−
λ
i,BF
)=
s
n
+α
n
−
1
s
n
−
1
+
⋯
+α
1
s
+α
0
{
˙
x
=(
A
−
BK
)
x
+
BN y
c
y
=
Cx
N=−(C(A−BK)−1B)−1
Exemple
Soit le système mono-variable suivant :
Trouver le correcteur d'état
K
tel que les modes (pôles) du système en BF
sont placés à
λ
1,
BF
=
−
3,
λ
2,
BF
=
−
5
Solution
Méthode indirecte
Vérification la commandabilité de la paire (A, B)
Alors le système est commanbale.
Représentation de système sur sa forme canonique commandable.
Détermination de l'équation caractéristique de la forme canonique
commandable du système
Détermination de l'équation caractéristique du système en BF
Calcul la matrice de retour dans l'espace d'état
K
c
défini par
x
c
(
t
)
Calcul de la matrice de passage d'une représentation quelconque à La forme
canonique commandable
T
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
76
{
˙
x
=
[
01
−
2
−
3
]
x
+
[
0
2
]
u
y
=
[
01
]
x
det
(
We
com
=
[
B
c
AB
⋯
A
n
−
1
B
]
)
=
det
(
We
com
=
[
B
c
AB
]
)
=
det
(
[
02
2
−
6
]
)
=
−
4
≠
0
⇒
rang
(
We
com
)=
2
=
n
˙
x
c
=
[
01
−
a
0
−
a
1
]
⏞
A
c
x
c
+
[
0
1
]
⏞
B
c
u
⇒
˙
x
c
=
[
01
−
2
−
3
]
⏞
A
c
x
c
+
[
0
1
]
⏞
B
c
u
n
=
2
⇒
det
(
sI
−
A
)=
s
2
+
3s
+
2
=
s
2
+
a
1
s
+
a
0
⇒
{
a
0
=
2
a
1
=
3
P
BF
(
s
)=
∏
i
=
0
n
(
s
−
λ
i,BF
)=(
s
+
3
)(
s
+
5
)=
s
2
+
8s
+
15
⇒
{
α
0
=
15
α
1
=
8
k
c
i
=α
i
−
a
i
⇒
{
k
c
0
=α
0
−
a
0
=
15
−
2
=
13
k
c
1
=α
1
−
a
1
=
8
−
3
=
5
⇒
K
c
=
[
13 5
]
Calcul de correcteur d'état
K
Méthode directe
Remarque
Pour les systèmes d'ordre supérieurs la procédure de la méthode directe est lourde
à mettre en œuvre. On lui préfère la méthode indirecte (transformation de système
à sa forme canonique commandable).
Simulateur : Calcul de gain de retour d'état sur Matlab
>> A=[0 1;-2 -3];B=[0 ;2];C=[0 1];D=0;
>> We_com=ctrb(A,B)
We_com =
0 2
2 -6
>> rank(We_com)
ans =
2
>> pole_d=[-3 -5];
>> K=place(A,B,pole_d)
K =
6.5000 2.5000
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
77
{
Wecom=
[
BAB
]
=
[
02
2−6
]
Weccom=
[
BcAcBc
]
=
[
01
1−3
]
⇒T−1=(Wecom×Weccom
−1)−1=
[
1
20
01
2
]
K
=
K
c
×
T
−
1
=
[
13 5
]
[
1
20
01
2
]
⇒
K
=
[
13
2
5
2
]
P
A
−
BK
(
s
)=
det
(
sI
−
A
+
BK
)=
det
(
s
[
10
01
]
−
[
01
−
2
−
3
]
+
[
0
2
]
[
k
1
k
2
]
)
=
s
2
+(
3
+
2k
2
)+(
2
+
2k
1
)
P
BF
(
s
)=
∏
i
=
0
n
(
s
−
λ
i,BF
)=
s
2
+
8s
+
15
P
A
−
BK
(
s
)=
P
BF
(
s
)
⇒
{
2
+
2k
0
=
15
3
+
2k
1
=
8
⇒
{
k
0
=
13
2
k
1
=
5
2
⇒
K
=
[
13
2
5
2
]
C. Commande par retour d'état d'un système multi-
variable
1. Proposition de problème
Soit le système multi-variable continu à
m
entrées et
p
sorties. En boucle
fermée avec une matrice de retour d'état
K
:
Donc, la loi de commande est donnée par :
Alors la matrice de retour d'état
K
est de taille (
m
×
n
)
L'équation caractéristique du système avec un retour d'état
K
et le polynôme
désiré de système en BF sont donnés par :
Par identification des deux équations suivantes (
P
A
−
B
K
(
s
)=
P
BF
(
s
)
) on se ramener
à un système d'équations linéaire qui contient
n
coefficients et
m
×
n
inconnus
K
=
(
k
11
,
⋯
,k
mn
)
. Alors il y a plus d'inconnus
k
i
j
que d'équations (
n
équations).
Le placement des
n
pôles fournit
n
contraintes. Il reste à déterminer m(n−1)
contraintes. Il y a donc une infinité des solutions.
2. Solution de problème
Pour résoudre ce problème il faut :
Fixé des valeurs arbitraires aux
k
i
j
jusqu'à ce qu'il reste
n
inconnus.
Introduire des contraintes (des conditions sur le bon fonctionnement de
système). Ces contraintes permettent d'obtenir un ensemble d'équations.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
78
{
˙
x
=(
A
−
BK
)
x
+
BN y
c
y
=
Cx
U
⏟
m
×
1
=
−
K
⏟
m
×
n
X
⏟
n
×
1
+
Y
c
⏟
m
×
1
K
=
[
k
11
k
12
⋯
k
1n
k
21
k
22
⋯
k
2n
⋮⋯⋱⋮
k
m1
k
m2
⋯
k
mn
]
P
A
−
BK
(
s
)=
det
(
s
I
−
A
+
BK
)
P
BF
(
s
)=
∏
i
=
0
n
(
s
−
λ
i,BF
)=
s
n
+α
n
−
1
s
n
−
1
+
⋯
+α
1
s
+α
0
Dans ce cas la le nombre d'équations augmente jusqu'à' à ce qu'il soit égale
au nombre d'inconnus.
3. Commande par placement des valeurs et vecteurs
propres
Le placement des valeurs et vecteurs propres est effectué par retour d'état et en
définissant des contraintes supplémentaires se qui permet de caractériser les
performances de système en boucle fermée.
Soit le système multi-variables commandable suivant:
Les valeurs propres de la matrice
vérifiant l'équation caractéristique
det
(
−
λ
i
I
)=
0
.
La décomposition en valeurs et vecteurs propres de la matrice
A
est donnée par :
Avec
Λ
est une matrice diagonale :
les colonnes de
T
sont appelées les vecteurs propres de la matrice
A
, ils
vérifiant :
v
i
=
λ
i
v
i
,i
=
1
⋯
n
et
T
=
[
v
1
v
2
⋯
v
n
]
.
Les valeurs et les vecteurs propres en boucle fermée sont données par :
On peut récrit cette équation sous la forme suivante :
On pose
−
K
v
i
=
q
i
. Ceci ramène à l'équation suivante :
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
79
{
˙
x
=
Ax
+
Bu
y
=
Cx
=
T
Λ
T
−
1
Λ=
[
λ
1
0
⋯
0
0
⋱⋯⋮
⋮⋯⋱
0
00
⋯
λ
n
]
(
−
BK
)
v
i
=λ
i
v
i
(
−
λ
i
I
)
v
i
−
B
K
v
i
=
0
(
−
λ
i
I
)
v
i
+
B
q
i
=
0
On peut mettre l'équation précédente sous la forme matricielle :
Alors la relation
−
K
v
i
=
q
i
peut être reformulée comme suit :
Exemple
Soit le système multi-variable suivant :
Le système est instable en boucle ouverte, on désire le stabiliser par retour d'état
de façon à obtenir en boucle fermée les modes :
Solution
Notre système est un système multi-variable d'ordre 3, avec 2 entrées et 2 sorties.
Alors
v
i
∈
R
3
∗
1
,q
i
∈
R
2
∗
1
Pour
λ
1,
BF
=
−
1
:
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
80
[
A
−
λ
i
I
⋮
B
]
[
v
i
⋯
q
i
]
=
0
v
i
∈
R
n
∗
1
,q
i
∈
R
m
∗
1
K
=
−
[
q
1
q
2
⋯
q
m
][
v
1
v
2
⋯
v
n
]
−
1
⇒
K
=
−
QV
−
1
{
˙
x
=
[
100
101
011
]
x
+
[
01
10
01
]
u
y
=
[
01
−
1
10 0
]
x
λ
1,
BF
=
−
1,
λ
2,
BF
=
−
2,
λ
3,
BF
=
−
3
[
A
−
λ
i
I
⋮
B
]
[
v
i
⋯
q
i
]
=
0
⇒
[
A
−
(
−
1
)
I
⋮
B
]
[
v
i
⋯
q
i
]
=
0
⇒
[
[
100
101
011
]
+(
1
)
[
100
010
001
]
⋮
[
01
10
01
]
]
[
v
1
v
2
v
3
⋯
q
1
q
2
]
=
0
[
20001
11110
01201
]
[
v
1
v
2
v
3
q
1
q
2
]
=
0
⇒
{
2v
1
+
q
2
=
0
v
1
+
v
2
+
v
3
+
q
1
=
0
v
2
+
2v
3
+
q
2
=
0
On'a 5 inconnus et 3 équations alors on fixe deux inconnus de vecteur propre
v
i
.
Par exemple
v
1
=
1,
v
2
=
−
1
Se qui donne :
Pour
λ
2,
BF
=
−
2
, en posant
v
1
=
0,
v
3
=
1
, on trouve :
Pour
λ
3,
BF
=
−
3
, en posant
v
1
=
−
1,
v
2
=
0
, on trouve :
Finalement :
Remarque : Sélection de vecteurs propres
Si on calcul les valeurs propres (pôles de système) en boucle fermée :
>> poles=eig(A-B*K)
poles =
5.5329 + 4.2639i
5.5329 - 4.2639i
-1.0657 + 0.0000i
On remarque que le système est instable en boucle fermée (deux pôles à partie
réelle positive). Donc il faut ajouter des contraintes sur le bon fonctionnement de
système, ou des conditions sur le choix des vecteurs propres, c.à.d plus d'équations
pour bien déterminer le correcteur
K
.
Alors pour le placement correcte des vecteurs propres il faut:
Choisissez
v
i
pour que chaque vecteur propre ait autant d'entrées que
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
81
v
1
=
[
1
−
1
3
2
]
,q
1
=
[
−
3
2
−
2
]
v
1
=
[
0
−
3
1
]
,q
1
=
[
5
0
]
v
1
=
[
−
1
0
−
1
]
,q
1
=
[
2
4
]
K=−QV −1⇒K=−
[
q1q2q3
][
v1v2v3
]
−1=
[
−3
252
−204
]
[
10−1
−1−30
3
21−1
]
−1
⇒K=
[
5−4−7
−16 4 12
]
possible = 0 en positions non diagonales dans
T
et que l'indépendance
linéaire soit maintenue.
Choisissez
v
i
pour que les vecteurs propres soient aussi orthogonaux que
⇒possible et que l'indépendance linéaire soit maintenue MATLAB ©. «Place»
Fonction.
Simulateur
>> A=[1 0 0;1 0 1;0 1 1];B=[0 1;1 0;0 1];C=[0 1 -1;1 0 0];
>> pole_BO=eig(A)
pole_BO =
1.6180
-0.6180
1.0000
pole_BF=[-1 -2 -3];
>> K=place(A,B,pole_BF)
K =
-7.0128 4.9993 8.9871
1.7110 0.4209 1.2897
% vérification
>> pole_A_BF=eig(A-B*K)
pole_A_BF =
-3.0000
-1.0000
-2.0000
D. Observateur d'état et commande par retour de
sortie
La mise en œuvre de la commande par retour d'état a besoin de capteurs
permettant de donner à chaque instant la valeur de l'état
x
(
t
)
. Il arrive souvent
que toutes ou quelques variables d'état d'un système ne soient pas accessibles à la
mesure pour deux raisons : les capteurs sont parfois trop coûteux ou difficiles à
réaliser pour des raisons techniques. Dans ce cas, l'implémentation directe de la
commande
u
(
t
)=
N
y
c
−
Kx
(
t
)
est impossible.
L'idée est donc de reconstruire l'état
x
(t) à partir des informations disponibles, c.-
à-d. la sortie y(t) et la commande u
(
t
)
.On utilise pour cela un système
dynamique permettant d'approximer
x
(t).
Ce système est en quelque sorte un capteur logiciel. C'est un algorithme fondé sur
un modèle du système et utilisant une information pertinente donnée par des
capteurs physiques. Ce capteur logiciel délivre à chaque instant une estimation en
ligne des variables d'état non mesurées du système. On parle alors :
d'observateur d'état
de reconstructeur d'état
d'estimateur d'état, ou encore
de filtre.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
82
1. Synthèse de l'observateur
L'architecture générale d'un observateur est donnée par la figure suivante :
Architecture de l'observateur
L'estimation de l'état
x
(t) se fait en recopiant de façon virtuelle la dynamique du
système en prenant en compte non seulement la commande u
(
t
)
, mais aussi la
sortie
y
(t)du système (les mesures) ( dans le but de corriger les écarts éventuels.
Puisque c'est l'observateur de système, alors il possède les mêmes matrices (
,
B
,
C
)
Par soustraction entre les équations de système et les équations de l'observateur
on obtient :
On désire accélérer la convergence de
x
(t) vert
x
(t) de telle manière que l'état
estimée
x
(t) soit disponible pour le contrôleur u(t)=−K
x
(t). Alors il faut
introduire un retour
L
basé sur l'erreur (
y
−
y
). c'est-à-dire
(y(t)−y(t))→0⇒
x
(t)→
x
(t) et donc on cherche un observateur qui effectuer
cette tache rapidement.
La matrice
L
est appelée matrice de gain de l'observateur. Elle est calculée dans la
procédure de conception de l'observateur.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
83
Système Observateur
{
˙
x
=
Ax
+
Bu
y
=
Cx
{
˙
x
=
A
x
+
Bu
y
=
C
x
˙
x
−
˙
x
=
A
(
x
−
x
)
y
−
y
=
C
(
x
−
x
)
Architecture de l'observateur
D'après la figure ci-dessus le modèle de l'observateur est donné par :
Si on définit l'erreur d'estimation e
(
t
)=
x
(
t
)
−
x
(
t
)
, la conception de l'observateur
consiste à trouver la matrice de gain
L
qui satisfait :
Si l'on tient compte de la dérivée du signal d'erreur
˙
e
(
t
)= ˙
x
(
t
)
−
˙
x
(
t
)
:
La dynamique (rapidité et stabilité de l'observateur réagit par l'équation
caractéristique suivante :
Les racines (pôles) de
ψ
L
(
s
)
sont choisis de manière à obtenir les performances
(rapidité, stabilité). c'est-à-dire des pôles à partie réelle négative.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
84
{
˙
x
=
A
x
+
Bu
+
L
(
y
−
y
)
y
=
C
x
lim
t
→∞
e
(
t
)=
0
{
˙
x
(
t
)=
Ax
(
t
)+
Bu
(
t
)
˙
x
(
t
)=
A
x
(
t
)+
Bu
+
L
(
y
(
t
)
−
y
(
t
))
e
(
t
)=
x
(
t
)
−
x
(
t
)
⇒
˙
e
(
t
)=
(
A
−
LC
)
e
ψ
L
(
s
)=
det
(
sI
−
A
+
LC
)
Exemple
Soit un pendule simple réagit par les équations suivantes :
Déterminer l'observateur de pendule tel que les pôles sont placés à
−
10
w
0
.
Solution
L'ordre de système égale à 2 alors la matrice de gain
L
de l'observateur est :
La première étape consiste à vérifier si le système est observable :
Alors le système est observable.
L'observateur doit réagit par l'équation caractéristique suivante :
Le polynôme désiré avec le nouveau placement des pôles est donné par :
Par identification, on en déduit les valeurs des composantes de la matrice de gain
L
de l'observateur :
Finalement l'observateur sera donné par l'équation suivante
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
85
{
˙
x
=
[
01
−
w
0
2
0
]
+
[
0
1
]
u
y
=
[
10
]
x
L
=
[
L
1
L
2
]
det
(
W
obs
=
[
C
CA
]
)
=
det
(
[
10
01
]
)
=
1
≠
0
⇒
rang
(
W
obs
)=
2
=
n
ψ
L
(
s
)=
det
(
sI
−
A
+
LC
)
=
det
(
s
[
10
01
]
−
[
01
−
w
0
2
0
]
+
[
L
1
L
2
]
[
10
]
)
=
[
s
+
L
1
−
1
w
0
2
+
L
2
s
]
⇒
ψ
L
(
s
)=
s
2
+
L
1
s
+(
w
0
2
+
L
2
)
ψ
d
(
s
)=(
s
+
10
w
0
)
2
=
s
2
+
20
w
0
s
+
100
w
0
2
{
L
1
=
20
w
0
w
0
2
+
L
2
=
100
w
0
2
⇒
{
L
1
=
20
w
0
L
2
=
99
w
0
2
2. Combinaison de réglage par retour d'état avec
l'observateur
L'observateur d'état qu'on a vu est aussi appelé observateur de Luenberger (ou de
Kalman-Luenberger). Cet observateur possède une caractéristique intéressante
connue sous le nom de principe de séparation . Dans le cas d'une commande
linéaire par retour d'état, les travaux de synthèse de commande et de synthèse
d'observateur peuvent se faire de façon indépendante. En effet, si le système
commandé est stable, et si l'observateur ainsi conçu est stable c.à.d. les matrices
(
A
−
Bk
)
et
(
A
−
LC
)
possèdent des valeurs propres à partie réelle négative, alors
le système commandé par retour de l'état estimé (reconstruit) est stable.
On considère le système linéaire suivant (commandable et observable), pour vu
d'un observateur d'état :
En réalisant un bouclage par retour d'état avec
y
c
(
t
)=
0
(cas de stabilisation):
Schéma de commande contrôleur – observateur
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
86
{
˙
x
=
[
01
−
w
0
2
0
]
+
[
0
1
]
u
+
[
20
w
0
99
w
0
2
]
(
y
−
y
)
y
=
[
10
]
x
Système Observateur
{
˙
x
=
Ax
+
Bu
y
=
Cx
{
˙
x
=
A
x
+
Bu
y
=
C
x
u
(
t
)=
−
K
x
(
t
)
D'après la figure ci-dessus la dynamique du système bouclé s'écrit alors :
Si on considère le changement de variable suivant (pour écrire l'erreur de
reconstruction)
e(t)=
x
(t)−
x
(t) d'où, en remplaçant
˙
e
(
t
)=
(
A
−
LC
)
e
(
t
)
En écrivant un nouveau système augmenté, constitué de l'état et de l'erreur
d'estimation, on obtient :
Cette matrice est triangulaire par blocs, et donc le spectre (valeurs propres)
du système en boucle fermée est constitué de l'union des spectres des blocs
diagonaux, c'est-à-dire l'union des spectres du système d'origine
commandé, et du système d'origine observé.
Ainsi la synthèse d'un système commandé par un retour d'état reconstruit
par un observateur est spécifiquement simple pour les systèmes linéaires
invariants, puisque on peut synthétiser les deux fonctions séparément.
Remarque
Pour le placement de pôles, on a tout intérêt à ce que l'observateur soit plus
rapide que le système, de manière à ce qu'il puisse le poursuivre.
Ainsi il faudra que l'abscisse spectrale de l'observateur soit plus négative que
celle du système commandé.
Du fait de sa nature dynamique (intégration des signaux de mesure)
l'observateur est aussi utilisé en traitement du signal pour filtrer des
mesures. C'est dans ce contexte que Kalman à publié le filtre qui porte
désormais son nom.
L'abscisse spectrale ne doit pas être trop négative, pour limiter la sensibilité
au bruit de l'observateur.
En pratique, on utilise des valeurs comprises entre 2 et 5 fois celle de
l'abscisse spectrale du dispositif commandé.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
87
[
˙
x(t)
˙
e(t)
]
[
(A−BK)BK
0(A−LC)
]
[
x(t)
e(t)
]
{
˙
x
=
Ax
(
t
)
−
BK
x
(
t
)
˙
x
=(
A
−
BK
)
x
(
t
)+
L
(
y
−
C
x
(
t
))
Remarque
Dans le cas d'un système multi-variable les mêmes étapes seront suivis, la seule
différence est la méthode utilisée pour calculer le matrice de retour d'état
K
et le
gain de l'observateur
L
(méthode de placement des valeurs et vecteur propres).
E. Exemples d'application
1. Exercice 1
Considérant le système représenté par l'équation d'état suivante :
Que l'on cherche à le stabilisé par retour d'état de la forme u(t)=−Kx (t).
Chercher
K
de telle façon que le polynome caractéristique en boucle fermée
ψ
d,BF
(
s
)=
s
3
+
6
s
2
+
13
s
+
20
.
2. Exercice 2
Considérant le système représenté par l'équation d'état suivante :
Que l'on cherche à le stabilisé par retour d'état de la forme u(t)=−Kx (t).
Chercher
K
de telle façon que le polynome caractéristique en boucle
fermée ait pour racines
−
1,
−
1
−
2j
,
−
1
+
2j
.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
88
˙
x
=
[
14
−
1
6
−
13
22
−
5
]
x
+
[
2
3
−
1
]
u
˙
x
=
[
−
510
0
−
21
00
−
1
]
x
+
[
0
0
1
]
u
3. Exercice 3
Soit le système :
Calculer le retour d'état
K
permettant d'avoir en boucle fermée les pôles :
−
1,
−
2,
−
3,
−
4
4. Exercice 4
Soit le système composé d'un accélérateur de vitesse qui commande un véhicule ou
la commande
u
(
t
)
représente la vitesse désirée,
d
est la position et
v
t
la vitesse
actuelle.
accélérateur de vitesse
1. Donner l'équation d'état et de système en choisissant
x
1
(
t
)=
d,
x
2
(
t
)=
v
t
2. On désire estimer la vitesse
v
t
et la position
d
, on utilise un observateur
qui possède les performances
-Est-ce-que l'observateur est réalisable ?
-Déterminer cet observateur.
5. Exercice 5
Soit le système suivant :
1. Quel est le type de Système ?
2. Vérifier la stabilité de système en boucle ouverte.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
89
{
˙
x
=
[
01
0
−
2
]
x
+
[
0
4
]
u
y
=
[
10
]
x
{
˙
x
=
[
10
−
11
10
−
10
010 1
11
−
10
]
x
+
[
−
1
−
12
011
020
10
−
1
]
u
y
=
[
1201
001
−
1
]
x
3. Vérifier la commandabilité de système.
4. Déterminer le correcteur par retour d'état de sorte que le système corrigé (c
à d en boucle fermée) ait les pôles
λ
1,
BF
=
−
2
−
j
2
√
3
,
λ
2,
BF
=
−
2
+
j
2
√
3
.
5. Vérifier l'observabilité de système
6. Déterminer l'observateur d'ordre totale tel que les pôles désirés sont cinq
(5) fois plus grand que les pôles en BF.
Commande par retour d'état des systèmes multivariables (SM)
90
Références
[Ber-11]Bernard PRADIN, Germain GARCIA AUTOMATIQUE LINEAIRE,
Systèmes multivariables, Année 2010-11
[Car-12]Caroline Bérard , Jean-Marc Biannic , David Saussié, Commande
Multivariable, Dunod, Paris, 2012.
[Che-84]Chen, C. T. (1984). Linear System Theory and Design, Holt,
Rinehart and Winston, Inc., New York.
[Gop-71]Gopinath, B., “On the control of linear multiple input–output
systems,” Bell Technical Journal, vol. 50, 1063–1081, 1971.
[Her-12]Hervé Guillard, Henri Bourlès, "Commandes des Systèmes.
Performance & Robustesse. Régulateurs Monovariables
Multivariables Applications Cours & Exercices Corrigés", Editions
Technosup, 2012.
[Lan-93]I. Landau, Identification et Commande des Systèmes, Edition
Hermes, 1993.
[Lue-64]Luenberger, D., “Observing the state of a linear system,” IEEE
Transactions on Military Electronics, vol. 8, 74–80, 1964.
[Lue-66]Luenberger, D., “Observers for multivariable systems,” IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. AC-11, 190–197, 1966.
[Moh-11]Mohammed Dahleh Munther A. Dahleh George Verghese , Lectures
on Dynamic Systems and Control, 6.241J / 16.338J Dynamic
Systems and Control Spring 2011
[Par-11]B. Pradin, G. Garcia ; "automatique linéaire : systèmes
multivariables", polycopies de cours, INSA de Toulouse, 2011.
[Smi-58]J. M. Smith, “Feedback Control Systems,” McGraw-Hill Book
Company, Inc., New York, N. Y., 1958.
91
[Won-85]W. M. Wonham, Linear Multivariable Control: A Geometric
Approach. Springer Verlag, 1985.
Références
92