III - Commandabilité
et Observabilité
III
Introduction 37
Commandabilité 38
Observabilité 42
Commandabilité/observabilité et fonction de transfert 45
Dualité entre la commandabilité et l'observabilité 46
Minimalité 46
Les formes canoniques 46
Exemples d'application 49
Conclusion 50
A. Introduction
La commandabilité et l'observabilité sont deux concepts développés pour la
représentation d'état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement
la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états (est ce que
c'est possible de commander un système par ses entrées) et la possibilité d'obtenir
une certaine information d'un des états (est ce que c'est possible de déterminer
l'état du système par ses sorties). Cependant leur concept peut être utilisé dans
d'autres représentations.
Considérons le système linéaire invariant
33
{
˙
X =AX +BU
Y =CX + DU
Le lien entre les espaces (Commande, état et sortie)
On peut alors se poser une question importante sur l'évolution de l'état et donc sur
le lien entre ces espaces au travers des matrices A, B, C et D.
Peut-on déterminer une commande admissible transférant le système d'un
état donné à un autre ? La notion sous-jacente à cette question est la notion
de commandabilité (gouvernabilité, contrôlabilité). D'après notre
schéma ceci concerne la matrice A et l'action par B sur l'espace d'état.
Peut-on déterminer l'état initial à partir de l'observation des sorties ? La
notion sous-jacente à cette question est la notion d'observabilité
(détectabilité). D'après le schéma précédente cette propriété concerne les
matrices A et C.
Ces deux propriétés sont nécessaires que ce soit pour la commande où il faudra
que le système soit commandable, ou pour la synthèse d'observateur où il faudra
que le système soit observable.
B. Commandabilité
1. Définition
Un système linéaire est commandable sur un intervalle
[
t
0
,t
1
]
, s'il est possible de
le conduire en lui appliquant un signal de commande
U
définie sur un intervalle
[
t
0
,t
1
]
de temps fini , d'un état initial
X
(
t
0
)
à un état final
X
(
t
1
)
.
Exemple
La vitesse d'une voiture n'est pas commandable par le volant.
La direction d'une voiture n'est pas commandable par l'accélérateur.
Commandabilité et Observabilité
34
Espace D'état
Espace des sorties
C
B
A
Espace des
Commandes
D
2. Critère de commandabilité de Kalman
a) Commandabilité de l'état
Une condition nécessaire et suffisante de commandabilité de l'état d'un système
définie par l'équation d'état
˙
X =A X + BU
s'écrit :
Avec :
: l'ordre de système et
We
com
=
[
B AB A
2
⋯ A
n−1
B
]
:la matrcie de
comandabilité
Si le rang de la matrice de commandabilité est infferieur à
donc le système n'est
pas complètement commandable.
Pour un nombre d'entrées supérieur à 1(système multi-entrées), le système est
commandable si :
Exemple
Soit les deux systèmes suivants :
Étudier la commandabilté par retour d'état de ces systèmes
Solution
Le premier système est un système mono-variable
La matrice de commandabilté par retour d'état
We
com
=
[
B AB A
2
⋯ A
n−1
B
]
L'ordre de système
n
=2 (nombre des variables d'état).
Alors, ce système est commandable par retour d'état.
Le deuxième système est un système multi-variable avec deux entrées.
Commandabilité et Observabilité
35
rang (We
com
)=n
det (
[
We
com
×We
com
T
]
)≠0
{
A=
[
−2 0
0 −1
]
, B=
[
2
1
]
,C =
[
3 0
]
, D=0
A=
[
−2 0
0 −1
]
, B=
[
2 1
1 1
]
, C=
[
3 0
0 0
]
, D=0
We
com
=
[
B AB
]
=
[
2 −4
1 −1
]
rang (We
com
)=rang
(
[
B AB
]
)
=rang
(
[
2 −4
1 −1
]
)
det (We
com
)=2≠0 ⇒rang (We
com
)=2=n
Alors, ce système est commandable par retour d'état.
Simulateur : Vérification de commandabilté par retour d'état sur
Matlab
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2;1];C=[3 0];D=0;
>> We_com=ctrb(A,B)
We_com =
2 -4
1 -1
>> rank(We_com)
ans =
2
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2 1;1 1];C=[3 0;0 0];D=0;
>> We_com=ctrb(A,B)
We_com =
2 1 -4 -2
1 1 -1 -1
det(We_com*We_com')
ans =
19.0000
b) Commandabilité de la sortie
Un système est commandable par retour de sortie si, pour une sortie souhaitée
y (t)
, avec
t>t
0
, il existe une entrée
u (t)
qui génère le sortie désirée
y (t)
à
partir de toute condition initiale
y (t
0
)
, dans un période de temps limité.
Une condition nécessaire et suffisante de commandabilité de la sortie d'un
système définie par l'équation d'état
˙
X =A X + BU
s'écrit :
Avec :
n
: l'ordre de système,
p
: le nombre des sorties et
Ws
com
=
[
CB CAB CA
2
B ⋯ CA
n −1
B
]
:la matrice de comandabilité de sortie.
Si le rang de la matrice de commandabilité par retour de sortie est inférieur à
p
donc le système n'est pas complètement commandable par retour de sortie.
Exemple
Étudier la commandabilté par retour sortie des systèmes précédents.
Solution
Commandabilité et Observabilité
36
We
com
=
[
B AB
]
=
[
2 1 −4 −2
1 1 −1 −1
]
det (We
com
×We
com
T
)=
[
25 9
9 4
]
= 19≠0
rang (Ws
com
)= p
La matrice de commandabilté par retour de sortie :
Le premier système est un système mono-variable
Alors, ce système est commandable par retour de sortie.
Le deuxième système est un système multi-variable avec deux sorties (
p=2
).
Alors, ce système n'est pas complètement commandable par retour de sortie.
Simulateur : Vérification de commandabilté par retour de sortie
sur Matlab
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2;1];C=[3 0];D=0;
>> Ws_com=C*ctrb(A,B)
Ws_com =
6 -12
>> rank(Ws_com)
ans =
1
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2 1;1 1];C=[3 0;0 0];D=0;
>> Ws_com=C*ctrb(A,B)
Ws_com =
6 3 -12 -6
0 0 0 0
>> rank(Ws_com)
ans =
1
C. Observabilité
D'autre part, il est souvent nécessaire de reconstruire l'état d'un système à partir
des mesures disponibles pour les sorties. La notion d'observabilité est alors
nécessaire pour s'assurer que la reconstruction de l'état est possible.
Commandabilité et Observabilité
37
Ws
com
=
[
CB CAB CA
2
B ⋯ CA
n −1
B
]
Ws
com
=
[
CB CAB
]
=
[
6 −12
]
rang (Ws
com
)=rang
(
[
CB CAB
]
)
=rang
(
[
6 −12
]
)
rang (Ws
com
)=1= p
Ws
com
=
[
CB CAB
]
=
[
6 3 −12 −6
0 0 0 0
]
rang (Ws
com
)=1≠ p
1. Définition
Un système est dit observable si l'observation de ses entrées et sorties pendant un
intervalle de temps fini
[
t
0
,t
1
]
permet de déterminer l'état initial
X
(
t
0
)
2. Critère d'observabilité de Kalman
Un critère de Kalman existe également pour la notion d'observabilité et fait
intervenir la matrice dynamique A et la matrice de sortie C.
Une condition nécessaire et suffisante d'observabilité d'un système définie par
l'équation d'état
˙
X =A X + BU
s'écrit :
Avec :
n
: l'ordre de système et
W
obs
:la matrcie d'observabilité .
Si le rang de la matrice d'observabilité est inférieur à
n
donc le système n'est pas
complètement observable.
Pour un nombre des sorties supérieur à 1(système multi-sorties ), le système est
observable si :
Exemple
Étudier l'observabilité des systèmes précédents.
Solution
Le premier système est un système mono-variable
La matrice d'observabilité
Commandabilité et Observabilité
38
rang
(
W
obs
)
=n
W
obs
=
[
C
CA
CA
2
⋮
CA
n−1
]
det (W
obs
T
×W
obs
)≠0
W
obs
=
[
C
CA
CA
2
⋮
CA
n−1
]
Alors, ce système n'est pas complétement observable.
Le deuxième système est un système multi-variable avec deux sorties.
Alors, ce système n'est pas complétement observable.
Exemple : Vérification d'observabilité par retour d'état sur Matlab
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2;1];C=[3 0];D=0;
>> W_obs=obsv(A,C)
W_obs =
3 0
-6 0
>> rank(W_obs)
ans =
1
>> A=[-2 0;0 -1];B=[2 1;1 1];C=[3 0;0 0];D=0;
>> W_obs=obsv(A,C)
W_obs =
3 0
0 0
-6 0
0 0
>> det(W_obs'*W_obs)
ans =
0
Remarque
Si la matrice
A
est diagonale, le système est complétement commandable si tous
les éléments de
B
sont non nuls. le système est complétement observable si tous
les éléments de
C
sont non nuls.
Il est possible que :
rang (W
com
)<n
, donc, la commandabilité ne se vérifie que
pour une partie du vecteur d'état, dans ce cas le système est dit partialement
commandable et sa commande consiste à rendre sa partie non commandable
inopérante afin de le contrôler entièrement via sa partie commandable.
Commandabilité et Observabilité
39
W
obs
=
[
C
CA
]
=
[
3 0
−6 0
]
det
(
[
3 0
−6 0
]
)
=0 ⇒ rang (W
obs
)=1 ≠n
W
obs
=
[
C
CA
]
=
[
3 0
0 0
−6 0
0 0
]
det (W
obs
T
×W
obs
)=det
(
45 0
0 0
)
=0
De même il est possible que
rang (W
obs
)<n
, donc l'observabilité ne se vérifie que
pour une partie du vecteur d'état.
D. Commandabilité/observabilité et fonction de
transfert
Dans cette partie, on montre la relation entre la fonction de transfert et ces deux
propriétés (commandabilité et observabilité) à travers un exemple. Soit un système
d'ordre 2
La matrice
A
est diagonale, donc :
x
1
: est commandable et observable
x
2
: est commandable et non observable
La fonction de transfert de notre système est donnée par :
Remarque
Les modes (pôles) qui se compensent avec des zéros sont les modes non
commandales, non observables ou non commandables et non observables.
Donc, un système dont la fonction de transfert possède des zéros qui se
compensent avec des pôles est un système non commandable et/ou non
observable.
Un système dont la fonction de transfert a tous ses zéros différents de ses
pôles est un système commandable et observable.
La commandabilité et l'observabilité sont des propriétés structurelles du
système qui n'apparaissent pas dans la représentation par fonction de
transfert. Donc, la fonction de transfert est quelques fois insuffisante pour
décrire un système.
Commandabilité et Observabilité
40
˙
X =
(
˙
x
1
˙
x
2
)
=
[
−2 0
0 −1
]
(
x
1
x
2
)
+
[
2
1
]
u
y=[3 0]
(
x
1
x
2
)
y (s )
u (s)
= C (SI − A)
−1
B+D=
6 (s+1)
(s+1)(s+2)
=
6
(s+2)
E. Dualité entre la commandabilité et l'observabilité
Les notions d'observabilité et de commandabilité sont deux notions duales. Pour le
montrer nous considérons les deux systèmes (
S
) et (
S
o
) définis par :
S
o
est appelé système dual ou adjoint de
S
Dans ce cas la (
S
) est commandable si et seulement si (
S
o
) est observable et (
S
) est observable si et seulement si (
S
o
) est commandable.
F. Minimalité
Soit (
A , B , C , D
) une réalisation associée à une matrice de transfert
G(s)
. Soit
n
0
la dimension de l'état associé. Alors, cette réalisation est minimale si toute
autre réalisation est d'ordre
n>n
0
.
Fondamental
Un système est minimal si il est complétement commandable et complétement
observable.
G. Les formes canoniques
Le fait de disposer de différentes représentations d'état pour un même système, car
le vecteur d'état n'est pas unique, est un avantage qui va permettre d'utiliser des
formes particulières de la représentation d'état appelées les formes canoniques.
En général, on désigne par forme canonique d'un système linéaire continu une
représentation d'état dont les matrices A, B et C ont une forme très simple et par
conséquent, possèdent un nombre réduit d'éléments différents de zéro dans leurs
structures. Les formes canoniques les plus connues et utilisées sont :
La forme compagne de commande.
La forme compagne d'observation.
Comme on va le voir plus tard ces deux formes seront très utiles, quand on étudie
le problème de la commande et de l'observation
1. Forme compagne pour la commande
En effet, si le système est commandable, on peut le mettre sous une forme d'état
dite forme compagne de commandabilité.
Dans le cas où le transfert est d'ordre
n
Commandabilité et Observabilité
41
S :
{
˙
X = AX +BU
Y =CX
, S
o
:
{
˙
X
o
=A
T
X
o
+B
T
U
o
Y =C
T
X
o
Avec (
m<n ⇒ D=0
), il est possible d'obtenir une représentation dite Compagne
pour la Commande de la forme :
Exemple
Soit le système représenté par sa fonction de transfert
Donner la représentation d'état sous forme canonique de commande de ce
système
Solution
Le degré de dénominateur et égale 3 donc
n=3
et le degré de numérateur égale 2
donc
m=2
2. Forme compagne d'observation
Si le système est observable, on peut le mettre sous une forme d'état dite forme
compagne d'observabilité.
Dans le cas où le transfert d'ordre
, strictement propre :
Commandabilité et Observabilité
42
G(s)=
b
m
s
m
+b
m−1
s
m−1
+⋯+b
1
s+b
0
s
n
+a
n−1
s
n−1
+a
n −2
s
n−2
+⋯+a
1
s+a
0
{
˙
X =
[
0 1 0 ⋯ 0
0 0 1 ⋯ 0
0 0 ⋱ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ 1
−a
0
−a
1
⋯ −a
n −2
−a
n−1
]
X +
[
0
0
⋮
0
1
]
U
Y =
[
b
0
b
1
⋯ b
m
0 ⋯ 0
]
X
G(s)=
5s
2
+1
s
3
+5s
2
+4s+1
{
˙
X =
[
0 1 0
0 0 1
−a
0
−a
1
−a
2
]
X +
[
0
0
1
]
U
Y =
[
b
0
b
1
b
2
]
X
⇒
{
˙
X =
[
0 1 0
0 0 1
−1 −4 −5
]
X +
[
0
0
1
]
U
Y =
[
1 0 5
]
X
G(s)=
b
m
s
m
+b
m−1
s
m−1
+⋯+b
1
s+b
0
s
n
+a
n−1
s
n−1
+a
n −2
s
n−2
+⋯+a
1
s+a
0
Il est possible d'obtenir une représentation dite Compagne d'observation de la
forme :
Exemple
Soit le système représenté par sa fonction de transfert
Donner la représentation d'état sous forme canonique d'observation de ce
système
Solution
Le degré de dénominateur et égale 3 donc
n=3
et le degré de numérateur égale 2
donc
m=2
H. Exemples d'application
1. Exercice 1
Soit le système représenté par les équations d'état
Commandabilité et Observabilité
43
{
˙
X =
[
0 0 ⋯ 0 −a
0
1 0 ⋯0 0 −a
1
0 1 ⋱ 0 ⋮
⋮ ⋮ ⋯ 0 −a
n−1
0 0 ⋯ 1 −a
n−1
]
X +
[
b
0
⋮
b
m
0
⋮
0
]
U
Y =
[
0 0 ⋯ 0 0 1
]
X
G(s)=
5s
2
+1
s
3
+5s
2
+4s+1
{
˙
X =
[
0 0 −a
0
1 0 −a
1
0 1 −a
2
]
X +
[
b
0
b
1
b
2
]
U
Y =
[
0 0 1
]
X
⇒
{
˙
X =
[
0 0 −1
1 0 −4
0 1 −5
]
X +
[
1
0
5
]
U
Y =
[
0 0 1
]
X
Étudier la commandabilté par retour d'état, de sortie et l'observabilité de
chaque système.
2. Exercice 2
Soit le système représenté par l'équation différentielle suivante :
1. Trouver la fonction de transfert de ce système.
2. Quelle est le types des pôles de ce système.
3. Donner la représentation d'état sous la forme Compagne de Commande.
4. Donner la représentation d'état sous la forme Compagne d'Observation.
3. Exercice 3
Soit le système suivant :
1. Récrier le système sous la forme Compagne de Commande.
2. Récrier le système sous la forme Compagne d'Observation.
I. Conclusion
Il arrive souvent qu'après une première analyse du système celui-ci s'avère être
non commandable ou non observable. Dans ce cas la deux solutions s'offrent à
vous.
La première solution consiste à ajouter ou changer des organes de commande (non
commandable) ou des capteurs (non observable). La deuxième solution n'est
valable que si la matrice complète de l'état n'est pas importante. Dans ce cas, la
réduction du modèle est envisageable. Une façon simple de procéder et de
déterminer la représentation d'état à partir de l'équation différentielle (qui "élimine"
Commandabilité et Observabilité
44
A=
[
− 2 0
0 −1
]
, B=
[
2
0
]
,C =
[
3 2
]
, D=0
A=
[
0 1 0
0 0 1
0 −2 −3
]
, B=
[
0
0
1
]
,C =
[
1 1 0
]
, D=0
A=
[
−1 0 0
0 −2 0
0 0 −3
]
, B=
[
1 0
1 2
2 1
]
,C =
[
1 1 2
3 1 5
]
, D=0
⃛
y (t)+6
¨
y (t )+11
˙
y(t)+6y (t)=6u (t)
{
˙
x=
[
0 1
−2 −3
]
x+
[
0
2
]
u
y=
[
0 1
]
x
les inobservabilités) ou de la fonction de transfert du système (qui "élimine" les
inobservabilités et les non commandabilités).
Commandabilité et Observabilité
45