II - Représentation
d'état des
systèmes multi-
variables (SM)
II
Définitions 31
Différentes représentations des systèmes multivariables 32
Stabilité 33
Résolution de l'équation d'état 33
Exercices d'application 35
A. Définitions
1. Système
Un système est un ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser une
fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers ses entrées ( signaux
d'excitation : actions envoyées au système, perturbations qui sont en général
imprévisibles) et ses sorties ( réponses du système aux signaux d'entrée).
Représentation d'un système
a) Système invariant (ou stationnaire)
Ce sont des systèmes dont les paramètres du modèle mathématique ne varient pas
27
au cours du temps.
b) Systèmes linéaires ou non linéaires
On dit qu'un système est linéaire s'il est régi par un système d'équations
différentielles linéaires. En pratique, aucun système n'est linéaire.
B. Différentes représentations des systèmes
multivariables
En général, la représentation des systèmes multivariable se fait par extension des
techniques du cas monovariable.
1. Représentation externes
Cette représentation utilise directement la relation entrée/sortie considérant le
système comme une boite noire.
a) Système d'équations différentielles
Un système linéaire invariant multi-variable d'ordre
n
possédant
m
entrées et
p
sorties peut être décrit par un système d'équations différentielles linéaires à
coefficients constants :
où
U =
[
u
1
(t)⋯u
m
(t)
]
,Y =
[
y
1
(t )⋯ y
p
(t )
]
sont respectivement l'entrée et la sortie
du système.
b) Matrice de transfert
Dans le cas SISO, la fonction reliant l'entrée et la sortie du système est appelée
fonction de transfert, dans le cas MIMO, on a plusieurs fonctions de transfert
représentant l'effet de chaque entrée sur chaque sortie. L'ensemble de ces
fonctions rangées en tableau constitue la matrice de transfert du système.
Représentation d'état des systèmes multi-variables (SM)
28
{
˙
x
1
(t)= f
1
(x
1
(t) ,⋯x
n
(t), u
1
(t) ,⋯u
m
(t ) , t)
⋮
˙
x
n
(t)= f
n
( x
1
(t),⋯x
n
(t) , u
1
(t) ,⋯u
m
(t), t)
{
˙
y
1
(t)=h
1
(x
1
(t ) ,⋯x
n
(t ), u
1
(t),⋯u
m
(t) ,t )
⋮
˙
y
p
(t)=h
p
( x
1
(t),⋯x
n
(t) , u
1
(t) ,⋯u
m
(t), t)
[
y
1
(s)
⋮
y
p
(s)
]
=
[
F
11
(s) ⋯ F
1m
(s)
⋮ ⋱ ⋮
F
p1
(s) ⋯ F
pm
(s)
]
[
u
1
(s)
⋮
u
m
(s)
]
2. Représentation internes (ou d'état)
Le principe général de la représentation d'état consiste à décrire un système en
considérant sa dynamique interne et pas seulement une relation entre son entrée et
sa sortie (comme le fait la fonction de transfert). Ainsi, il convient de redonner de
l'importance à des grandeurs qui ne sont ni entrée, ni sortie.
La représentation d'état étant particulièrement adaptés aux systèmes
multivariables, elle est obtenue à partir des autres représentations
(particulièrement à partir de la matrice de transfert). Un système linéaire multi-
variable et invariant possédant
m
entrées et
p
sorties, peut être représenté par:
C. Stabilité
Un système linéaire et invariant décrit par une représentation d'état est dit :
Asymptotiquement stable si toutes les valeurs propres de la matrice
dynamique
A
sont à partie réelle strictement négative.
Simplement stable si au moins une des valeurs propres de
A
est nulle (ou à
partie réelle nulle).
Instable si au moins une des valeurs propres de
A
est à partie réelle
strictement positive.
D. Résolution de l'équation d'état
Considérons un système d'ordre
représenté par le modèle d'état suivant :
Si les condition initiales sont nulles
X (t
0
)= X
0
=0
Représentation d'état des systèmes multi-variables (SM)
29
{
́
X
(
t
)
= A X
(
t
)
+ BU
(
t
)
Y
(
t
)
=C X
(
t
)
+ DU
(
t
)
{
́
X
(
t
)
= A X
(
t
)
+ BU
(
t
)
Y
(
t
)
=C X
(
t
)
+ DU
(
t
)
́
X
(
t
)
= AX
(
t
)
+BU
(
t
)
L
→
{
sX
(
s
)
− X
0
= AX
(
s
)
+BU
(
s
)
X
(
s
)
=
(
sI −A
)
−1
(
BU
(
s
)
+ X
0
)
}
L
−1
→
X
(
t
)
=e
At
X
0
+
∫
0
t
e
A
(
t −τ
)
BU
(
τ
)
dτ
X
(
t
)
=
∫
0
t
e
A
(
t −τ
)
BU
(
τ
)
dτ
e
At
c'est la matrice de transition son développement en série est donné par :
Le produit de convolution entre deux signaux dans le domaine temporale est donné
par :
La transformé de Laplace de produit de convolution
' '∗' '
entre deux signaux égale
au produit usuel
' ' ×' '
entre ces signaux.
Si les condition initiales ne sont pas nulles
X (t
0
)=X
0
:
E. Exercices d'application
1. Exercice 1 : (Passage d'un système différentiel vers
l'espace d'état )
Soit le système à deux entrées et deux sortie défini par :
Représentation d'état des systèmes multi-variables (SM)
30
e
At
= I+
At
1!
+
A
2
t
2
2 !
+…
h
(
t
)
∗u
(
t
)
=
∫
0
t
h
(
t−τ
)
u(τ )dτ
L
{
h
(
t
)
∗u(t)
}
= L
{
h(t)
}
. L
{
u (t )
}
=H
(
s
)
.U (s )
L
−1
{
H
(
s
)
. U (s)
}
=h
(
t
)
∗u
(
t
)
=
∫
0
t
h(t−τ)u
(
τ
)
dτ
́
X
(
t
)
= AX
(
t
)
+BU
(
t
)
L
→
{
sX
(
s
)
−X
0
=AX
(
s
)
+BU
(
s
)
X
(
s
)
=
(
sI −A
)
−1
(
BU
(
s
)
+X
0
)
}
L
−1
→
X
(
t
)
=e
At
X
0
+
∫
0
t
e
A
(
t −τ
)
BU
(
τ
)
dτ
{
¨
y
1
=2u
1
−3
˙
y
1
+4y
1
¨
y
2
=−
˙
y
1
+2y
2
+u
2
Écrire les équations d'état et de sortie en considérant comme variable
d'état :
Donner l'ordre de système
2. Exercice 4 : (Résolution de l'équation d'état)
Soit le système suivant :
1. Trouver la matrice de transition
e
At
.
2. Trouver la solution de l'équation d'état quand
x
(
0
)
=
[
1
0
]
et
u
(
t
)
=e
−t
.
3. Trouver la réponse de système quand
y=
[
1 0
]
x
Représentation d'état des systèmes multi-variables (SM)
31
{
x
1
= y
1
x
2
=
˙
y
1
x
3
= y
2
x
4
=
˙
y
2
[
́x
1
́x
2
]
=
[
0 1
−2 −3
]
[
x
1
x
2
]
+
[
0
1
]
u