Master 1 Automatique
& systèmes
Systèmes
linéaires multi-
variables
DR. ABDELKADER MERAH
09/03/2019
1.0
Table des
matières
Objectifs 7
I - Introduction 9
A. Rappel sur le calcul matriciel..........................................................................9
1. Représentation matricielle et notations................................................................................9
2. L'addition matricielle........................................................................................................10
3. Le produit......................................................................................................................12
4. L'opérateur de transposition.............................................................................................14
5. Les mineurs....................................................................................................................15
6. Les mineurs (directeurs) principaux...................................................................................15
7. Les cofacteurs................................................................................................................17
8. Le déterminant d'une matrice...........................................................................................17
9. La matrice inverse...........................................................................................................19
10. Le rang d'une matrice....................................................................................................20
11. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice.............................................................22
B. Rappel des notions de l'approche d'état.........................................................24
1. L'importance de la représentation d'état des systèmes.........................................................24
2. La représentation d'état d'un système linéaire stationnaire...................................................24
3. Formulation de la fonction (ou la matrice) de transfert suivant l'équation d'état.......................25
C. Différence entre SISO et MIMO.....................................................................26
D. Exercices d'application.................................................................................27
1. Exercice 1 : (Rappel sur le calcul matriciel).........................................................................27
2. Exercice 2 : (Fonction de transfert, représentation d'état)....................................................27
3. Exercice 3 : (Fonction de transfert, représentation d'état)....................................................28
4. Exercice 5 : (Les systèmes (MIMO, SISO, MISO ou SIMO) )..................................................28
II - Représentation d'état des systèmes multi-variables (SM)
31
A. Définitions..................................................................................................31
1. Système........................................................................................................................31
B. Différentes représentations des systèmes multivariables..................................32
1. Représentation externes..................................................................................................32
2. Représentation internes (ou d'état)...................................................................................33
C. Stabilité.....................................................................................................33
D. Résolution de l'équation d'état......................................................................33
E. Exercices d'application.................................................................................35
1. Exercice 1 : (Passage d'un système différentiel vers l'espace d'état ).....................................35
2. Exercice 4 : (Résolution de l'équation d'état)......................................................................35
3
III - Commandabilité et Observabilité 37
A. Introduction...............................................................................................37
B. Commandabilité..........................................................................................38
1. Définition.......................................................................................................................38
2. Critère de commandabilité de Kalman................................................................................39
C. Observabilité..............................................................................................42
1. Définition.......................................................................................................................42
2. Critère d'observabilité de Kalman......................................................................................42
D. Commandabilité/observabilité et fonction de transfert.....................................45
E. Dualité entre la commandabilité et l'observabilité............................................46
F. Minimalité...................................................................................................46
G. Les formes canoniques................................................................................46
1. Forme compagne pour la commande.................................................................................47
2. Forme compagne d'observation.........................................................................................48
H. Exemples d'application................................................................................49
1. Exercice 1......................................................................................................................49
2. Exercice 2......................................................................................................................50
3. Exercice 3......................................................................................................................50
I. Conclusion..................................................................................................50
IV - Représentation d'état des systèmes multi-variables
définis par leurs matrice de transfert 53
A. Problème général........................................................................................53
B. Passage d'une représentation d'état à la représentation par matrice de transfert 55
C. Passage d'une représentation par matrice de transfert à la représentation d'état 59
1. Méthode de Gilbert..........................................................................................................59
2. Méthode des invariants (Forme de Smith-McMillan).............................................................63
3. Méthode du graphe minimal (cas des valeurs propres (ou pôles) multiples)............................68
4. Méthode de décomposition en matrices de rang 1 (réalisation non-minimale)..........................71
5. Représentation des systèmes de plusieurs entrées et une seule sortie (MISO).........................75
6. Représentation des systèmes d'une seule entrée et de plusieurs sorties (SIMO)......................77
D. Exercices d'application.................................................................................78
1. Exercice 1 : (Passage d'une représentation d'état à la représentation par matrice de transfert ) 78
2. Exercice 2 : (Méthode de Gilbert , Système propre).............................................................79
3. Exercice 3: (Méthode de Gilbert )......................................................................................79
4. Exercice 4 (Méthode des invariants)..................................................................................79
5. Exercice 5: (Méthode de graphe minimal)...........................................................................80
6. Exercice 6: (Méthode de décomposition en matrices de rang 1).............................................80
7. Exercice 7: (Représentation d'état d'un système MISO)........................................................81
8. Exercice 8: (Représentation d'état d'un système SIMO)........................................................81
V - Commande par retour d'état des systèmes multivariables
(SM) 83
A. Introduction...............................................................................................83
B. Commande par retour d'état d'un système mono-variable................................83
1. Calcul du régulateur K.....................................................................................................84
2. Calcul de la matrice de pré-filtre N....................................................................................88
4
C. Commande par retour d'état d'un système multi-variable.................................93
1. Proposition de problème...................................................................................................93
2. Solution de problème.......................................................................................................94
3. Commande par placement des valeurs et vecteurs propres...................................................94
D. Observateur d'état et commande par retour de sortie....................................100
1. Synthèse de l'observateur..............................................................................................100
2. Combinaison de réglage par retour d'état avec l'observateur...............................................107
E. Exemples d'application...............................................................................114
1. Exercice 1....................................................................................................................114
2. Exercice 2....................................................................................................................114
3. Exercice 3....................................................................................................................114
4. Exercice 4....................................................................................................................115
5. Exercice 5....................................................................................................................115
Références 117
5
Objectifs
L'objectif du cours est de donner une méthodologie pour la
conception des différentes lois de commande pour les systèmes
linéaires invariants multi-variables, dans le contexte de l'approche
d'état.
7
I - Introduction
I
Rappel sur le calcul matriciel 9
Rappel des notions de l'approche d'état 24
Différence entre SISO et MIMO 26
Exercices d'application 27
A. Rappel sur le calcul matriciel
1. Représentation matricielle et notations
Une matrice est un tableau rectangulaire d'éléments, généralement des nombres ou
des fonctions. Ces grandeurs sont généralement des réels ou des complexes. Dans
la suite, nous ne considérerons que des grandeurs réelles. Une matrice
A
de
dimension
m∗n
est notée
A∈R
m∗n
. Cette matrice est une matrice de
m
lignes et
de
n
colonnes.
Si
m=n
, alors la matrice est carrée.
Une matrice
V
qui ne comporte qu'une seule colonne,
, est appelé un
vecteur colonne :
9
A=[a
ij
]=
[
a
11
a
12
⋯ a
1n
a
21
a
22
⋯ a
2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
a
m1
a
m2
⋯ a
mn
]
V =
[
v
1
v
2
⋮
v
m
]
Une matrice
V
qui ne comporte qu'une seule ligne,
V ∈R
m∗1
, est appelé un
vecteur ligne :
2. L'addition matricielle
L'addition matricielle n'est définie qu'entre deux matrices de même dimensions. La
matrice résultante est de la même dimension que les matrices additionnées et
chacun de ses éléments est la somme des éléments des deux matrices
correspondant à la même ligne et à la même colonne.
L'addition ou la soustraction entre deux matrices
A
et
B
est donnée par :
Exemple : L'addition et la soustraction matricielle
Simulateur : L'addition et la soustraction matricielle sur Matlab
>> A=[1 4 0;2 7 3]
A =
1 4 0
2 7 3
>> B=[5 2 6;0 1 1]
B =
5 2 6
0 1 1
>> A+B
ans =
6 6 6
2 8 4
>> A-B
ans =
-4 2 -6
2 6 2
3. Le produit
a) La multiplication d'une matrice avec un scalaire
La multiplication entre une matrice et un nombre scalaire donne une matrice dont
Introduction
10
V =
[
v
1
v
2
⋯ v
n
]
C=
[
c
ij
]
=
[
a
ij
±b
ij
]
A=
[
1 4 0
2 7 3
]
, B=
[
5 2 6
0 1 1
]
Alors
A+ B=
[
6 6 6
2 8 4
]
et A− B=
[
−4 2 −6
2 6 2
]
chaque élément de la matrice est multiplié par le scalaire.
Étant donné
A
une matrice, et
b
un scalaire, alors les éléments de la matrice
C
résultante sont donnés par :
La matrice
C=bA
est de même dimension que
A
Exemple : La multiplication entre une matrice et un nombre
scalaire
Simulateur : La multiplication entre une matrice et un nombre
scalaire sur Matlab
>> A=[1 4 0;2 7 3];
>> b=2;
>> C=b*A
C =
2 8 0
4 14 6
b) La multiplication matricielle
La multiplication entre deux matrices n'est définie que lorsque leurs dimensions son
compatibles : le nombre de colonnes de la matrice à gauche de l'opérateur doit
correspondre au nombre de lignes de la matrice à droite de l'opérateur.
Si
A∈R
m∗n
, et si
B∈R
n∗p
, la multiplication entre les matrices
A
et
B
donne
une matrice
C
de dimensions (
m∗ p
) telle que tous ses éléments :
Introduction
11
C=
[
c
ij
]
=b a
ij
A=
[
1 4 0
2 7 3
]
et b=2 Alors
C=bA=
[
2×1 2×4 2×0
2×2 2×7 2×3
]
=
[
2 8 0
4 14 6
]
c
ij
=
∑
k =1
n
a
ik
b
kj
Exemple : La multiplication entre deux matrices
Simulateur : La multiplication entre deux matrices sur Matlab
>> A=[1 2;1 0];
>> B=[0 1;0 2];
>> C=A*B
C =
0 5
0 1
>> V=[1 2]
V =
1 2
>> C=V*B
C =
0 5
Attention
La commutativité n'est pas toujours vraie
4. L'opérateur de transposition
La transposée d'une matrice
A
est la matrice
A
T
(notée parfois aussi
A '
)
définie par :
Exemple : La transposée d'une matrice
Introduction
12
C= AB=
[
1 2
1 0
][
0 1
0 2
]
=
[
(1×0)+(2×0) (1×1)+(2× 2)
(1×0)+(0×0) (1×1)+(0×2)
]
=
[
0 5
0 1
]
C =VB=
[
1 2
]
[
0 1
0 2
]
=
[
(1×0)+(2×0) (1×1)+(2×2)
]
=
[
0 5
]
AB ≠ BA
A=
[
a
ij
]
m∗n
⇒ A
T
= A' =
[
a
ji
]
n∗m
A=
[
1 5
0 4
]
⇒ A
T
= A'=
[
1 0
5 4
]
V =
[
1 2 3
]
⇒ V
T
=V '=
[
1
2
3
]
Simulateur : Calcul de la transposée d'une matrice sur Matlab
>> A=[1 5;0 4];
>> A'
ans =
1 0
5 4
>> V=[1 2 3]
V =
1 2 3
>> V'
ans =
1
2
3
5. Les mineurs
Les mineurs
m
ij
des éléments
a
ij
d'une matrice
A
carrée,
A∈R
m∗n
, sont les
déterminants de la partie restante de
A
lorsqu'on ne tient pas compte de la ligne
i
et de la colonne
j
.
Exemple : Les mineurs d'une matrice
En ce qui concerne la matrice
A
le mineur
m
23
est donné par :
Simulateur : Calcul de mineur m23 avec Matlab
A=[1 1 0;1 0 1;0 2 1];
% Calcul de la partie restante de A lorsqu'on ne tient pas
compte de la ligne 2 et de la colonne 3.
A (2,:) = []; A (:,3) = []
A =
1 1
0 2
m23=det(A)
m23 =
2
Introduction
13
A=
[
1 1 0
1 0 1
0 2 1
]
m
23
=det
(
A=
[
1 1 ⋯
⋯ ⋯ ⋯
0 2 ⋯
]
)
det
(
[
1 1
0 2
]
)
=2
6. Les mineurs (directeurs) principaux
Le mineur principal de
A
d'ordre
k
est obtenue en supprimant les
n−k
dernières
lignes et colonnes.
Soit
A=[a
ij
]=
[
a
11
a
12
⋯ a
1n
a
21
a
22
⋯ a
2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
a
m1
a
m2
⋯ a
mn
]
Les mineurs directeurs d'une matrice carrée
A
,appelés aussi mineurs principaux
sont définis comme suit :
Exemple : Les mineurs principaux d'une matrice
Si tous les mineurs principaux de la matrice
A
sont positifs alors, on des que la
matrice
A
est définie positive .
Simulateur
>> A=[1 1 0;1 0 1;0 2 1];
>> m1=A(1,1)
m1 =
1
>> m2=det(A(1:2,1:2))
m2 =
Introduction
14
m
1
=a
11
m
2
=det
(
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
)
m
3
=det
(
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
)
⋮
m
n
=det
(
A
)
A=
[
1 1 0
1 0 1
0 2 1
]
m
1
=1
m
2
=det
(
[
1 1
1 0
]
)
=−1
m
3
=det
(
A
)
=det
(
[
1 1 0
1 0 1
0 2 1
]
)
=−3
-1
>> m3=det(A(1:3,1:3))
m3 =
-3
7. Les cofacteurs
Les cofacteurs
c
ij
des éléments
a
ij
d'une matrice
A
carrée,
A∈R
m∗n
, sont
donnés par :
Exemple : Calcul de cofacteurs d'une matrice
Les cofacteur
c
23
de la matrice
A
est donné par :
Simulateur
>> A=[1 1 0;1 0 1;0 2 1];
>> A (2,:) = []; A (:,3) = []
A =
1 1
0 2
>> C23=(-1)^(2+3)*det(A)
C23 =
-2
8. Le déterminant d'une matrice
Soit
A=[a
ij
]=
[
a
11
a
12
⋯ a
1n
a
21
a
22
⋯ a
2n
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
a
m1
a
m2
⋯ a
mn
]
On appelle déterminant d'une matrice
A
carrée,
A∈R
m∗n
avec
m=n
, le nombre
noté
det ( A)
a) Calcul du déterminant d'une matrice avec les cofacteurs
La valeur d'un déterminant d'ordre
n
d'une matrice carrée
A
est la somme des
n
produits obtenus en multipliant chaque élément d'une ligne (colonne) donnée de la
matrice par son cofacteur.
Introduction
15
c
ij
=(−1)
i+ j
m
ij
A=
[
1 1 0
1 0 1
0 2 1
]
c
1
=(−1)
2+3
∗m
23
=−2
On peut donc, par exemple, calculer le déterminant d'ordre 3 de la matrice
A
Exemple : Le déterminant d'une matrice avec les cofacteurs
Remarque
Lorsque le déterminant d'une matrice est nul, on dit que la matrice est (non
inversible) singulière..
Si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) d'une matrice sont nuls alors le
déterminant est nul.
Si deux lignes (ou colonnes) d'une matrice sont identiques, alors le
déterminant est nul.
Simulateur : Calcul de déterminant d'une matrice sur Matlab
>> A=[1 1 2;0 2 2;0 5 1];
>> det(A)
ans =
-8
9. La matrice inverse
La matrice inverse
A
−1
d'une matrice
A
carrée, est donnée par la relation :
Complément
Pour qu'une matrice soit inversible, il faut que sont déterminant soit différent de 0.
On dit alors que la matrice est régulière ou non singulière.
Introduction
16
A=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
det ( A)=a
11
c
11
+a
12
c
12
+a
13
c
13
=a
11
[
a
22
a
23
a
32
a
33
]
−a
12
[
a
21
a
23
a
31
a
33
]
+a
13
[
a
21
a
22
a
31
a
32
]
A=
[
1 2
3 5
]
⇒ det
(
A
)
=1 c
11
+2 c
12
=
(
(1×5)−(3×2)
)
=−1
A=
[
1 1 2
0 2 2
0 5 1
]
⇒det
(
A
)
= 1×det (
[
2 2
5 1
]
) − 0×det(
[
1 2
5 1
]
) + 0×det (
[
1 2
2 2
]
)=(1×−8)−(0×−9)+(0×−3)=−8
A=
[
1 1 2
0 2 2
0 5 1
]
⇒ det
(
A
)
= 1×det(
[
2 2
5 1
]
) − 1×det (
[
0 2
0 1
]
) + 2×det(
[
0 2
0 5
]
)=(1×−8)−(1×0)+(1×0)=−8 ,
A
−1
=
adj( A)
det ( A)
Exemple : Calcul de l'inverse d'une matrice
Simulateur : Calcul de l'inverse d'une matrice sur Matlab
>> A=[1 1 ;2 1];
Introduction
17
Si n=2, Alors A=
[
a
11
a
12
a
21
a
22
]
⇒ A
T
= A=
[
a
11
a
21
a
12
a
22
]
⇒ adj( A)=
[
a
22
−a
12
−a
21
a
11
]
Si n=3, Alors A=
[
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
]
⇒ A
T
=
[
a
11
a
21
a
31
a
12
a
22
a
32
a
13
a
23
a
33
]
⇒ adj
(
A
)
=
[
+
(
det
[
a
22
a
3 2
a
23
a
33
]
)
−
(
det
[
a
11
a
31
a
13
a
33
]
)
+
(
det
[
a
12
a
22
a
13
a
23
]
)
−
(
det
[
a
21
a
31
a
23
a
33
]
)
+
(
det
[
a
11
a
31
a
13
a
33
]
)
−
(
det
[
a
11
a
21
a
13
a
23
]
)
+
(
det
[
a
21
a
31
a
22
a
32
]
)
−
(
det
[
a
11
a
31
a
12
a
32
]
)
+
(
det
[
a
11
a
21
a
12
a
22
]
)
]
n=2, ⇒ A=
[
1 1
2 1
]
⇒ A
T
= A=
[
1 2
1 1
]
⇒ adj( A)=
[
1 −1
− 2 1
]
⇒ A
−1
=
adj( A)
det (A)
=
[
1 −1
−2 1
]
−1
=
[
−1 1
2 −1
]
Si n=3, Alors A=
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
⇒ A
T
=
[
1 1 0
0 0 2
0 1 1
]
⇒adj
(
A
)
=
[
+
(
det
[
0 2
1 1
]
)
−
(
det
[
0 2
0 1
]
)
+
(
det
[
0 0
0 1
]
)
−
(
det
[
1 0
1 1
]
)
+
(
det
[
1 0
0 1
]
)
−
(
det
[
1 1
0 1
]
)
+
(
det
[
1 0
0 2
]
)
−
(
det
[
1 0
0 2
]
)
+
(
det
[
1 1
0 0
]
)
]
adj (A)=
[
−2 0 0
−1 1 −1
2 −2 0
]
Alors , A
−1
=
adj( A)
det ( A)
=
[
−2 0 0
−1 1 − 1
2 −2 0
]
− 2
=
[
1 0 0
0,5 −0,5 0,5
−1 1 0
]
>> inv(A)
ans =
-1 1
2 -1
>> A=[1 0 0;1 0 1;0 2 1];
>> inv(A)
ans =
1.0000 0 0
0.5000 -0.5000 0.5000
-1.0000 1.0000 0
10. Le rang d'une matrice
Le rang d'une matrice correspond au nombre maximum de colonnes ou de lignes
linéairement indépendantes. C'est aussi l'ordre du plus grand déterminant non nul.
Si
k
est cet ordre, on dit que la matrice est de rang
k
.
Remarque
Si le déterminant d'une matrice carrée est non nul alors le rang de cette matrice
égale aux nombre de lignes (colonnes) de cette dernière.
Introduction
18
Si det( A
n∗n
)≠ 0, Alors rang ( A)=n
Exemple : Le rang d'une matrice
Dans ce cas la, on cherche l'ordre du plus grand déterminant non nul, par exemple
on prend la sous matrice suivante :
Alors,
rang (A
2
)=2
Simulateur : Calcul de rang d'une matrice sur Matlab
>> A1=[1 0 0;1 0 1;0 2 1];
>> rank(A1)
ans =
3
>> A2=[0 0 0;1 0 1;0 2 1];
>> rank(A2)
ans =
2
11. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice
Si
A
est une matrice carrée (
n
×
n
) quelconque, les
n
valeurs propres distincts
de
A
sont notés
λ
i
et sont associées aux
n
vecteurs propres
v
i
par :
Les valeurs propres de
A
sont les scalaires tels que:
où
I
est la matrice identité d'ordre
n
Cette dernière équation en fonction de
λ
i
et de degré
n
est dite équation
caractéristique de la matrice
A
.
Introduction
19
A
1
=
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
⇒ det( A
1
)= −2 et− 2 ≠ 0⇒ rang (A
1
)=n=3
A
2
=
[
0 0 0
1 0 1
0 2 1
]
⇒ det (A
2
)=0
A
s
=
[
0 1
2 1
]
⇒ det (A
s
)=−2 et−2≠0 ⇒rang (A
s
)=2
A v
i
= λ
i
v
i
, i=1⋯n
det ( A−λ
i
I )=0
Exemple : Calcul des valeurs propres d'une matrice sur Matlab
Calcul des vecteurs propres de
A
Pour la valeur propre (1)
Pour la valeur propre (2)
Pour la valeur propre (-1)
Introduction
20
A=
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
( A− λ
i
I )=
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
−
[
λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ
]
=
[
1−λ 0 0
1 −λ 1
0 2 1−λ
]
det( A−λ
i
I )=0 ⇒
[
1−λ 0 0
1 −λ 1
0 2 1−λ
]
=0
⇒(1−λ)det
(
[
−λ 1
2 1−λ
]
)
⇒(1− λ)(λ
2
−λ−2)=0 ⇒
{
λ
1
=1
λ
2
=2
λ
3
=−1
}
A v
1
=λ
1
v
1
avec v
1
=
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
[
x
1
x
2
x
3
]
= 1
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
{
x
1
=x
1
x
1
+x
3
= x
2
2x
2
+x
3
= x
3
}
Si on pose x
1
= 0.7071 et x
3
=−0.7071 Alors v
1
=
[
0.7071
0
− 0.7071
]
A v
2
=λ
2
v
2
avec v
2
=
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=2
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
{
x
1
=2x
1
x
1
+x
3
=2x
2
2x
2
+x
3
=2x
3
}
Si on pose x
2
=0.4472 et x
3
=0.8944 Alors v
2
=
[
0
0.4472
0.8944
]
Simulateur : Calcul des Valeurs propres d'une matrice sur Matlab
>> A=[1 0 0;1 0 1;0 2 1];
>> eig(A)
ans =
2
-1
1
>> [vecteurs_propres,valeurs_propres]=eig(A)
vecteurs_propres =
0 0 0.7071
0.4472 0.7071 0
0.8944 -0.7071 -0.7071
valeurs_propres =
2 0 0
0 -1 0
0 0 1
B. Rappel des notions de l'approche d'état
1. L'importance de la représentation d'état des
systèmes
La représentation d'état est très utile aussi pour les systèmes continus que pour
les systèmes discrets. cette représentation qui, outre le fait qu'elle représente un
très grand nombre de systèmes physiques qui sont décrits par des équations
différentielles, elle est largement exploitée en automatique vue la richesse en
informations qu'elle apporte à l'étude de la commande des systèmes.
En effet, ce formalisme permet de mener une étude plus complète sur les systèmes
que celle qui peut être menée par l'approche « fonction de transfert », notamment
pour les systèmes discrets dont la représentation d'état conduit à des commandes
plus performantes.
Introduction
21
A v
3
=λ
3
v
3
avec v
3
=
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
[
1 0 0
1 0 1
0 2 1
]
[
x
1
x
2
x
3
]
=−1
[
x
1
x
2
x
3
]
⇒
{
x
1
=−x
1
x
1
+x
3
=−x
2
2x
2
+x
3
=−x
3
}
Si on pose x
2
=0.7071 et x
3
=−0.7071 Alors v
3
=
[
0
0.7071
−0.7071
]
2. La représentation d'état d'un système linéaire
stationnaire
Dans le cas d'un système linéaire stationnaire continu, la représentation interne
est :
A
,
B
,
C
,
D
étant des matrices constantes.
A
matrice d'état, d'évolution (ou de dynamique)
A∈R
n∗n
B
matrice de commande (ou d'entrée)
B∈R
n∗m
C
matrice d'observation (ou de sortie)
C ∈R
p∗n
D
matrice de transmission directe
D∈R
p∗m
Remarque
Dans un système non linéaire ces matrices sont non stationnaire
A(t ), B(t ), C (t ) , D(t)
3. Formulation de la fonction (ou la matrice) de
transfert suivant l'équation d'état
Alors, la fonction (ou la matrice) de transfert est donnée par :
Exemple
On considère le système mécanique (masse-ressort-amortisseur) :
Introduction
22
{
́x
(
t
)
= A x
(
t
)
+ Bu
(
t
)
y
(
t
)
=C x
(
t
)
+Du
(
t
)
{
́x (t )=Ax
(
t
)
+Bu(t)
y
(
t
)
=Cx
(
t
)
+Du(t)
L (x
(
0
)
=0)
→
{
X (s )=AX
(
s
)
+BU (s )
Y
(
s
)
=CX
(
s
)
+DU ( s)
⇒ X
(
s
)
=
(
sI −A
)
−1
BU
(
s
)
⇒ Y
(
s
)
=C
(
(
sI − A
)
−1
BU
(
s
)
)
+DU (s )
Y
(
s
)
U (s )
=C
(
(
sI −A
)
−1
B
)
+D
{
˙
x=
[
0 1
−k
m
−c
v
m
]
x +
[
0
1
m
]
u
y=
[
1 0
]
x
, D=0 avec
{
m=10
c
v
=20
k = 4000
Alors, la fonction de transfert est donnée par :
Simulateur : Formulation de la fonction de transfert suivant
l'équation d'état sur Matlab
>> m=10;cv=20;k=4000;
>> A=[0 1;-k/m -cv/m];B=[0; 1/m];C=[1 0];D=0;
>> [Num,Den]=ss2tf(A,B,C,D);
>> G=tf(Num,Den)
G =
0.1
---------------
s^2 + 2 s + 400
C. Différence entre SISO et MIMO
Un système communique avec l'extérieur par l'intermédiaire de grandeurs, en
fonction du temps appelés signaux. Parmi les grandeurs physiques mises en jeu
dans un système, l'on peut distinguer :
Grandeurs d'entrée (grandeur exogène): une grandeur d'entrée est une grandeur
qui agit sur le système.
Grandeurs de sortie (réponses ): grandeurs contrôlées par l'effet des entrées.
Selon le nombre des entrées et des sorties on peut citer deux types de système :
1. Monovariable : système à une seule entrée et une seule sortie.
2. Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2
a. le système a plusieurs entrées et plusieurs sorties, c'est un système
multivariable ( MIMO (Multiple Input Multiple Output)) ;
b. le système a une entrée et plusieurs sorties, système( SIMO (Single
Input Multiple Output));
c. le système a plusieurs entrées et une sortie, système( MISO (Multiple
Input Single Output));
Introduction
23
Y
(
s
)
U (s )
=C
(
(
sI −A
)
−1
B
)
+D=
[
1 0
]
(
(
s
[
1 0
0 1
]
−
[
0 1
−k
m
−c
v
m
]
)
−1
[
0
1
m
]
)
+0=
1
m
s
2
+
c
v
m
s+
k
m
⇒G(s)=
0,1
s
2
+2s+400
Une présentation synthétique mettant en évidence les analogies et les différences
entre le multi-variable et le mono-variable est faite dans la figure suivante :
Différence entre SISO et MIMO
D. Exercices d'application
1. Exercice 1 : (Rappel sur le calcul matriciel)
Soit la matrice suivante :
1. Calculer
(
A+ A
)
,
2 A
et
A
2
.
2. Calculer le déterminant, le rang, l'inverse, les mineurs principaux et les
valeurs propres de la matrice
A
.
2. Exercice 2 : (Fonction de transfert, représentation
d'état)
Soit un moteur à courant continu commandé par un induit et généré par l'équation
différentielle suivante :
Avec
θ : Position angulaire f : Coefficient de frottement
R : Résistance de l'induit K : Constante d'induction
Introduction
24
A=
[
0 1 2
0 1 3
1 2 1
]
J
¨
θ
(
t
)
+
(
f +
K
2
R
)
˙
θ
(
t
)
=
K
R
e
(
t
)
J : Coefficient d'inertie
Tableau 1 Paramètres de MCC
1. Donner la fonction de transfert de système.
2. Donner la représentation d'état du système en choisissons comme variables
d'état la position et la vitesse.
3. Exercice 3 : (Fonction de transfert, représentation
d'état)
Soit le système représenté par la figure suivante :
1. Donner la représentation d'état et de sortie en considérant
x
(
t
)
=
[
V
c
(
t
)
i
L
(
t
)
]
2. Trouver la fonction de transfert de système
4. Exercice 5 : (Les systèmes (MIMO, SISO, MISO ou
SIMO) )
Soit le système représenté suivant :
Avec
Introduction
25
{
́
X =AX +BU
Y =CX + DU
Sys1: A=
[
1 0 1
0 1 2
2 4 1
]
, B=
[
2
1
0
]
,C =
[
1 0 2
]
, D=0
Sys2 : A=
[
1 0 1
0 1 2
2 4 1
]
, B=
[
0 0
0 1
1 1
]
,C =
[
2 3 1
4 2 3
]
, D= 0
1. Donner dans chaque cas le type de système (MIMO, SISO, MISO ou SIMO),
l'ordre de système, le nombre des entrées, le nombre des sorties
Introduction
26
Sys3: A=
[
1 0 1
0 1 2
2 4 1
]
, B=
[
2
1
0
]
,C =
[
2 3 1
4 2 3
]
, D=0
Sys4 : A=
[
1 0 1
0 1 2
2 4 1
]
, B=
[
0 0
0 1
1 1
]
, C=
[
4 1 0
1 2 1
0 2 1
]
, D=0
Sys5 : A=
[
1 0 1
0 1 2
2 4 1
]
, B=
[
0 0
0 1
1 1
]
, C=
[
1 0 2
]
, D=0