I. Définition

• Polynôme : Expression algébrique de la forme :
  P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ, avec les coefficients aᵢ ∈ ℝ (ou un autre corps).
• Degré : Le plus grand entier n tel que aₙ ≠ 0. Le degré d’un polynôme nul est non défini (par convention : -∞).

II. Opérations sur les polynômes

• Addition : On additionne les coefficients de même degré.
• Multiplication : On applique la distributivité : (P × Q)(x) = P(x) × Q(x).
• Composition : (P ◦ Q)(x) = P(Q(x)).
• Division euclidienne : Pour P(x), D(x) ≠ 0, il existe Q(x), R(x) tels que :
  P(x) = D(x) × Q(x) + R(x), avec deg(R) < deg(D).

III. Racines et factorisation

• Racine : Un nombre r est racine de P si P(r) = 0.
• Théorème de factorisation : Si r est une racine, alors (x - r) divise P(x).
• Forme factorisée : Exprime P comme produit de facteurs du type (x - r).
• Multiplicité : Une racine r est dite multiple si elle annule plusieurs fois le polynôme (exemple : racine double).

IV. Identités remarquables

• (a + b)² = a² + 2ab + b²
• (a - b)² = a² - 2ab + b²
• (a + b)(a - b) = a² - b²

V. Polynômes remarquables

• Polynôme nul : Tous les coefficients sont nuls.
• Polynôme constant : Degré 0. Exemple : P(x) = 3.
• Polynôme du 1er degré : P(x) = ax + b.
• Polynôme du 2nd degré : P(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

VI. Formule du discriminant (2nd degré)

• Discriminant : Δ = b² - 4ac
• Racines :
  • Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes
  • Si Δ = 0 : une racine double
  • Si Δ < 0 : pas de racine réelle (racines complexes)
• Formule : x = (-b ± √Δ) / (2a)

VII. Exemple

Soit P(x) = x² - 5x + 6

Δ = 25 - 24 = 1 → deux racines : x = 2 et x = 3

D'où la factorisation : P(x) = (x - 2)(x - 3)