I. Définitions générales [edit]

• Structure algébrique : Ensemble muni d’une ou plusieurs lois de composition interne.
• Loi de composition interne : Opération qui, à deux éléments d’un ensemble, associe un autre élément du même ensemble.
• Ensemble stable : Un ensemble E est stable pour une loi * si ∀ a, b ∈ E, a * b ∈ E.

II. Propriétés des lois [edit]

• Associativité : (a * b) * c = a * (b * c)
• Commutativité : a * b = b * a
• Élément neutre : e tel que ∀ a, a * e = e * a = a
• Inverse : Pour tout a, il existe a⁻¹ tel que a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e

III. Exemples de structures algébriques [edit]

• Monoïde : Ensemble + loi associative + élément neutre.
• Groupe : Monoïde dans lequel tout élément admet un inverse.
• Groupe abélien : Groupe où la loi est aussi commutative.
• Anneau : Ensemble avec deux lois : addition (groupe abélien) et multiplication (associative, distributive).
• Corps : Anneau dans lequel la multiplication (sans le zéro) forme un groupe commutatif.

IV. Lois usuelles [edit]

• ℕ, ℤ, ℚ, ℝ sont des ensembles souvent munis des lois + et ×.
• ℤ est un anneau ; ℚ, ℝ sont des corps.

V. Table de vérité pour les propriétés [edit]

VI. Exemple concret [edit]

L’ensemble ℤ avec l’addition est un groupe abélien : la somme est associative, commutative, 0 est neutre et chaque entier a un inverse (son opposé).

L’ensemble ℝ avec les lois + et × est un corps (sauf que 0 n’a pas d’inverse pour ×).