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I. Notions de base sur les ensembles

• Ensemble : Collection d’éléments distincts. Exemple : A = {1, 2, 3}.
• Appartenance : On écrit x ∈ A si x est un élément de A, sinon x ∉ A.
• Inclusion : A ⊆ B signifie que tous les éléments de A sont aussi dans B.
• Ensemble vide : Noté ∅, ne contient aucun élément.
• Partie : Tout sous-ensemble d’un ensemble donné.

II. Opérations sur les ensembles

• Union : A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
• Intersection : A ∩ B = {x | x ∈ A et x ∈ B}
• Différence : A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}
• Complémentaire : Ensemble des éléments de l’univers qui ne sont pas dans A
• Produit cartésien : A × B = {(a, b) | a ∈ A et b ∈ B}

III. Applications (fonctions)

• Application : Une règle qui associe à chaque élément d’un ensemble A un unique élément de B. Notée : f : A → B.
• Domaine de définition : L’ensemble A dans f : A → B.
• Image : f(a) ∈ B est l’image de a ∈ A.
• Image d’un ensemble : f(A) = {f(x) | x ∈ A} ⊆ B.
• Antécédent : Si f(a) = b, alors a est un antécédent de b.

IV. Types d’applications

• Injective : Si f(x) = f ⇒ x = y
• Surjective : Si tout élément de B a un antécédent dans A
• Bijective : Si l’application est à la fois injective et surjective

V. Composition et identité

• Composition : Si f : A → B et g : B → C, alors g ∘ f : A → C, défini par (g ∘ f)(x) = g(f(x))
• Application identité : id_A : A → A, définie par id_A(x) = x

VI. Exemple

Soit A = {1, 2, 3}, B = {a, b}, f : A → B définie par :

• f(1) = a
• f(2) = b
• f(3) = a

→ f n’est pas injective (1 et 3 ont la même image), mais elle est surjective.