Exercice 3

Soient (e₁, e₂, e₃) la base canonique de ℝ³ et u un endomorphisme de ℝ³ défini par :

u(e₁) = 2e₁ + e₂ + 3e₃  
u(e₂) = e₂ − 3e₃  
u(e₃) = −2e₂ + 2e₃
    

1. Soit x = (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ³. Déterminer u(x).
2. Soient :

   E = {x ∈ ℝ³ | u(x) = 2x}  
   F = {x ∈ ℝ³ | u(x) = −x}
               

   Montrer que E et F sont deux sous-espaces vectoriels de ℝ³.
3. Déterminer une base de E et une base de F.
4. A-t-on E ⊕ F = ℝ³ ?

Exercice 4

Soit f : ℝ³ → ℝ³ une application linéaire définie par :

f(x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y + z, 4x − y + z)

1. Donner une base de ker f et une base de Im f. L’application f est-elle inversible ?
2. Vérifier la relation : dim(ℝ³) = dim(ker f) + dim(Im f).
3. Déterminer f²(x, y, z).