Solution de Fiche TD

Exercice: 1

  Trouvons \( a \) et \( b \) pour que \( P(x) \) soit divisible par \((x + 1)^2\), c’est-à-dire :

\[P(-1) = 0, P'(-1) = 0 \] car \( -1 \)  est une racine double

  On a :

\[P'(x) = 4x^3 + 3ax^2 + b.\]

  Alors :

 \begin{cases} 1 \cdot a - b + 1 = 0 \\ -4 + 3a + b = 0 \end{cases}

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ 3a + b = 4 \end{cases}  \implies \begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \end{cases} \]

Exercice: 2

(a) On remarque que \( x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \). On pose :

\[P(x) = (x^2 - 3x + 2)Q(x) + R(x), \quad \text{avec deg}(R) \leq 1.\]

Donc :

\[R = ax + b.\]

Avec :

\[ \begin{cases} P(1) = 0 \cdot Q(1) + R(1) \\ P(2) = 0 \cdot Q(2) + R(2) \end{cases} \implies \begin{cases} (-1)^{2n} - 2 = a + b \\ 1^n - 2 = 2a + b \end{cases} \implies \begin{cases} a + b = -1 \\ 2a + b = -1 \end{cases} \implies a = 0, b = -1. \]

Ainsi, \( R(x) = -1 \).

(b) On pose :

\[P(x) = (x^2 - 2x + 1)Q(x) + R(x), \quad \text{avec deg}(R) \leq 1.\]

Donc :

\[R(x) = ax + b.\]

On a aussi :

\[P'(x) = 2n(x - 2)^{2n-1} + n(x - 1)^{n-1}.\]

En posant :

\[ \begin{cases} P(1) = R(1) \\ P'(1) = R'(1) \end{cases} \implies \begin{cases} -1 = a + b \\ 2n(-1)^{2n-1} = a \end{cases} \implies \begin{cases} a = -2n \\ b = -1 + 2n \end{cases} \]

Ainsi, \( R(x) = -2nx - 1 + 2n \).