1. Soient \( A = \{1, 2, 3\} \), \( B = \{-2, -1, 2, 3, 4\} \), \( E = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).

\( A \cap B = \{2, 3\} \),

\( A \cup B = \{-2, -1, 1, 2, 3, 4\} \),

\( A \setminus B = \{1\} \),

\( B \setminus A = \{-2, -1, 4\} \),

\( A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = \{1\} \cup \{-2, -1, 4\} = \{-2, -1, 1, 4\} \),

\( \mathcal{C}_E A = E \setminus A = \{-3, -2, -1, 0, 4, 5\} \),

\( \mathcal{C}_E B = E \setminus B = \{-3, 0, 1, 5\} \).

2. Soient \( A = |-\infty, 3| \), \( B = |-2, 7| \) deux parties de \( \mathbb{R} \).

\( A \cap B = |-2, 3| \),

\( A \cup B = |-\infty, 7| \),

\( \mathcal{C}_R A = \mathbb{R} \setminus A = |3, +\infty| \),

\( \mathcal{C}_R B = \mathbb{R} \setminus B = |-\infty, -2| \cup |7, +\infty| \).

1. Soit \( x \in E \),

\[x \in \mathcal{C}_E (A \cap B) \iff x \notin (A \cap B)\]

\[\iff x \notin A \text{ ou } x \notin B\]

\[\iff x \in \mathcal{C}_E A \text{ ou } x \in \mathcal{C}_E B\]

\[\iff x \in \mathcal{C}_E A \cup \mathcal{C}_E B\]

D'où, \( \mathcal{C}_E (A \cap B) = \mathcal{C}_E A \cup \mathcal{C}_E B \).

2. Soit \( x \in E \),

\[x \in A \cup (B \cap C) \iff x \in A \text{ ou } x \in (B \cap C)\]

\[\iff x \in A \text{ ou } (x \in B \text{ et } x \in C)\]

\[\iff (x \in A \text{ ou } x \in B) \text{ et } (x \in A \text{ ou } x \in C)\]

\[\iff x \in (A \cup B) \text{ et } x \in (A \cup C)\]

\[\iff x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\]

D'où, \( A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \).

3. a) Supposons que \( A \subset B \) et montrons que \( \mathcal{C}_E B \subset \mathcal{C}_E A \). Soit \( x \in E \),

\[x \in \mathcal{C}_E B \iff x \notin B\]

\[\iff x \notin A\]

\[\iff x \in \mathcal{C}_E A\]

i.e : \( \mathcal{C}_E B \subset \mathcal{C}_E A \).

b) Supposons que \( \mathcal{C}_E B \subset \mathcal{C}_E A \) et montrons que \( A \subset B \). Soit \( x \in E \),

\[x \in A \iff x \notin \mathcal{C}_E A\]

\[\iff x \notin \mathcal{C}_E B\]

\[\iff x \in B\]

i.e : \( A \subset B \)

Et par conséquent, \( A \subset B \iff \mathcal{C}_E B \subset \mathcal{C}_E A \).

On sait que \( A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A) \).

1) Montrons que \(A\subset B.\) Soit \(x\in E,\)

i.e : \(A\subset B.\)

2) Montrons que \(B\subset A.\) Soit \(x\in E,\)

i.e : \(A\subset B.\)

Comme \(A\subset B\) et \(B\subset A,\) alors \(A=B.\)

Soit \(f\) l'application de l'ensemble \(\{1,2,3,4,5\}\) dans lui-meme definie par :

\(f\left(1\right)=4,\)\(f\left(2\right)=1,\)\(f\left(3\right)=2,\)\(f\left(4\right)=2,\)\(f\left(5\right)=3.\)

1. Lorsque \(A=\{2\},\) on obtient \(f\left(A\right)=f\left(\{2\}\right)=\{1\},\)

Lorsque \(A=\{1,3,4\},\) on obtient \(f\left(A\right)=f\left(\{1,3,4\}\right)=\{2,4\}.\)

2. Lorsque \(B=\{3\},\) on obtient \(f^{-1}\left(B\right)=f^{-1}\left(\{3\}\right)=\{5\},\)

Lorsque \(B=\{1,2,3\},\) on obtient \(f^{-1}\left(B\right)=f^{-1}\left(\{1,2,3\}\right)=\{1,2,3,4\}.\)

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles, \(f:E\longrightarrow F\) une application.

1) Montrons que \(\forall A,B\in\mathcal{P}\left(E\right),\)\(\left(A\subset B\right)\Longrightarrow\left(f\left(A\right)\subset f\left(B\right)\right).\)

Soit \(y\in f\left(A\right),\) donc il existe \(x\in A\) tel que \(y=f\left(x\right).\)

Comme \(A\subset B\) et \(x\in A,\) alors \(x\in B.\)

Puisque \(x\in B\) et \(y=f\left(x\right),\) alors \(y\in f\left(B\right).\)

On deduit que \(f\left(A\right)\subset f\left(B\right).\)

2) Montrons que \(\forall A,B\in\mathcal{P}\left(E\right),\)\(f\left(A\cap B\right)\subset f\left(A\right)\cap f\left(B\right).\)

\(\left\{\begin{array}[]{lcl}A\cap B\subset A&\Longrightarrow&\!\!\!\int f\left(A\cap B\right)\subset f\left(A\right)\\ A\cap B\subset B&\Longrightarrow&\!\!\!\int f\left(A\cap B\right)\subset f\left(B\right)\end{array}\right.\Longrightarrow f\left(A\cap B\right)\subset f\left(A\right)\cap f\left(B\right).\)

1) \(f:\mathbb{Z}\longrightarrow\mathbb{Z},\)\(n\longmapsto 2\left|n\right|+1.\)

(i) On a \(f\left(-1\right)=3\) et \(f\left(1\right)=3,\) i.e \(-1\) et \(1\) ont la meme image \(3,\) et donc \(f\) n'est pas injective.

(ii) Comme \(0\) n'a pas d'antecedents, alors \(f\) n'est pas surjective.

L'application \(f\) n'est pas bijective.

2) \(g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R},\)\(x\longmapsto-\frac{3}{2}x+\frac{4}{3}.\)

(i) Soient \(x_{1},x_{2}\in\mathbb{R},\)

\[g\left(x_{1}\right)=g\left(x_{2}\right) \Longrightarrow -\frac{3}{2}x_{1}+\frac{4}{3}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{4}{3}\] \[\Longrightarrow -\frac{3}{2}x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}\] \[\Longrightarrow x_{1}=x_{2}\]

i. e : \(g\) est injective.

(ii) Soit \(y\in\mathbb{R},\)

\[y=g\left(x\right) \Longleftrightarrow -\frac{3}{2}x+\frac{4}{3}=y\] \[\Longleftrightarrow -\frac{3}{2}x=y-\frac{4}{3}\] \[\Longleftrightarrow x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{9}\]

Donc \(\forall y\in\mathbb{R}\), \(\exists x\in\mathbb{R}\), \(y=g\left(x\right)\),

i. e : \(g\) est surjective.

Comme \(g\) est injective et surjective alors \(g\) est bijective.

3) \(h:\mathbb{R}\setminus\{1\}\longrightarrow\mathbb{R}\), \(x\longmapsto\frac{x+1}{x-1}\).

(i) Soient \(x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\),

\[h\left(x_{1}\right)=h\left(x_{2}\right) \implies \frac{x_{1}+1}{x_{1}-1}=\frac{x_{2}+1}{x_{2}-1}\] \[\implies (x_{1}+1)\left(x_{2}-1\right)=\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}+1\right)\] \[\implies x_{1}x_{2}-x_{1}+x_{2}-1=x_{1}x_{2}+x_{1}-x_{2}-1\] \[\implies -2x_{1}=-2x_{2}\] \[\implies x_{1}=x_{2}\]

Alors \(h\) est injective.

(ii) Soit \(y\in\mathbb{R}\),

\[y=h\left(x\right) \iff \frac{x+1}{x-1}=y\] \[\iff y\left(x-1\right)=x+1\] \[\iff xy-y=x+1\] \[\iff xy-x=y+1\] \[\iff x\left(y-1\right)=y+1\]

Si \(y\neq 1\) alors \(x=\frac{y+1}{y-1}\).

Si \(y=1\) alors \(x\times 0=1\), cette equation n'a pas de solutions, et ainsi \(y=1\) n'a pas d'antecedent.

Donc \(h\) n'est pas surjective.

Comme \(h\) n'est pas surjective alors \(h\) n'est pas bijective.

Soit \(f:\mathbb{R}\longrightarrow[-1,+\infty[\) une application definie par \(f\left(x\right)=x^{2}-1\).

1) On a \(f\left(-1\right)=0\) et \(f\left(1\right)=0\), et donc \(f\left(\{-1,1\}\right)=\{0\}\).

On a \(f\left([2,4]\right)=\{f\left(x\right),x\in[2,4]\}\),

\[x\in[2,4] \implies 2\leqslant x\leqslant 4\implies 4\leqslant x^{2}\leqslant 16 \implies 3\leqslant x^{2}-1\leqslant 15\] \[\implies 3\leqslant f\left(x\right)\leqslant 15\implies f\left(x\right)\in[3,15]\,.\]

D'où, \(f\left([2,4]\right)=\left[3,15\right].\)

On a \(f^{-1}\left(\{[8,24[\}]\right)=\{x\in\mathbb{R},f\left(x\right)\in[8,24[\}\),

\[f\left(x\right)\in\left|8,24\right| \implies 8

D'où, \(f^{-1}\left(\{[8,24[\}]\right)=\left]-5,-3[\cup\left|3,5\right|\).

2) Comme \(f\left(-1\right)=0\) et \(f\left(1\right)=0\) alors \(f\) n'est pas injective.

Soit \(y\in[-1,+\infty[\),

\[f\left(x\right)=y \iff x^{2}-1=y\] \[\iff x^{2}=y+1\] \[\iff x=-\sqrt{y+1}\text{ on }x=\sqrt{y+1},\]

donc pour tout \(y\in[-1,+\infty[\) l'equation \(f\left(x\right)=y\) admet au moins une solution \(x\) dans \(\mathbb{R}\). C'est-a-dire \(f\) est surjective.

1. Soit \(y>0\). Alors on a

On pose alors \(X=e^{x}\), et l'equation est equivalente a l'equation du second degre

\[X^{2}+2X-y=0.\]

\(\Delta=4y+4\), et donc

\[X_{1}=-1-\sqrt{y+1}<0\ \ {\rm et}\ \ X_{2}=-1+\sqrt{y+1}>0.\]

Mais \(X=e^{x}>0\), et donc on a

\[y=f\left(x\right) \Longleftrightarrow e^{x}=-1+\sqrt{y+1}\] \[\Longleftrightarrow x=\ln\left(-1+\sqrt{y+1}\right)\]

L'equation \(y=f\left(x\right)\) admet donc une unique solution.

On deduit que l'application \(f\) est bijective et elle admet donc une application reciproque \(f^{-1}:\mathbb{R}_{+}^{*}\to\mathbb{R}\) definie par

\[f^{-1}\left(y\right)=\ln\left(-1+\sqrt{y+1}\right)\]

ou bien

\[f^{-1}\left(x\right)=\ln\left(-1+\sqrt{x+1}\right).\]

2. Soit \(x\in\mathbb{R}_{+}^{*}\),

\[f\circ g\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)=f\left(2\ln x\right)=e^{2\left(2\ln x\right)}+2e^{2\ln x}=e^{\ln x^{4}}+2e^{\ln x^{2}}=x^{4}+2x^{2}.\]

Soit \(x\in\mathbb{R}\),

\[g\circ f\left(x\right) = g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(e^{2x}+2e^{x}\right)=2\ln\left(e^{2x}+2e^{x}\right)=2\ln\left[e^{x}\left(e^{x}+2\right)\right]\] \[= 2\ln\left(e^{x}\right)+2\ln\left(e^{x}+2\right)=2x+2\ln\left(e^{x}+2\right).\]

On considere trois ensembles \(A\), \(B\) et \(C\) et deux applications \(f:A\longrightarrow B\), \(g:B\longrightarrow C\).

a) Montrons que : \(g\circ f\) injective \(\Longrightarrow f\) injective.

Soient \(x_{1}\), \(x_{2}\in A\),

\[f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \Longrightarrow g\left(f\left(x_{1}\right)\right)=g\left(f\left(x_{2}\right)\right)\] \[\Longrightarrow g\circ f\left(x_{1}\right)=g\circ f\left(x_{2}\right)\] \[\Longrightarrow x_{1}=x_{2}\quad{\rm car}\ g\circ f\ {\rm est\ injective}\]

Ce qui montre que \(f\) est injective.

b) Montrons que : \(g\circ f\) surjective \(\Longrightarrow g\) surjective.

Soit \(y\in C\), puisque \(g\circ f\) est surjective alors il existe \(x\in A\) tel que \(y=g\circ f\left(x\right)\).

Or \(y=g\circ f\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(t\right)\) avec \(t=f\left(x\right)\in B\).

Donc \(\forall y\in C\), \(\exists t\in B\), \(y=g\left(t\right)\).

Ce qui montre que \(g\) est surjective.