Fiche TD 3 : Structures Algébriques

 

 

Exercice 1

Soit * une loi de composition interne dans R \ {2} définie par :

x * y = xy - 2x - 2y + 6.

  1. La loi * est-elle commutative ? associative ?
  2. Montrer que la loi * possède un élément neutre.
  3. Déterminer l’inverse d’un élément x de R \ {2}.
  4. Quelle est votre conclusion ?
  5. Résoudre dans R \ {2} l’équation suivante : x * 4 = 5x + 1.
  6. Pour tout entier n ≥ 2 et pour x ∈ R \ {2}, montrer que :

x * x * … * x (n fois) = (x - 2)^n + 2.

Exercice 2

  1. Soit ⋆ une loi de composition interne dans ]-1, 1[ définie par :

x ⋆ y = (x + y) / (1 + xy).

Montrer que (]-1, 1[, ⋆) est un groupe abélien.

  1. Soit le groupe (R, +) et soit f :] -1, 1[ → R une application définie par :

f(x) = ln((1 - x) / (1 + x)).

Montrer que f est un morphisme de groupes.

Last modified: Friday, 5 September 2025, 1:12 PM