Solutions des exercices - TD N°1
Exercice 7
Utilisons la contraposée. Montrons que :
\[ (xy - 2x - y + 2 = 0) \implies (x = 1 \text{ ou } y = 2) \]On a :
\[ xy - 2x - y + 2 = 0 \implies (x - 1)(y - 2) = 0 \]Donc :
\[ x = 1 \text{ ou } y = 2 \]Ce qui prouve la contraposée.
Exercice 8
Initialisation : pour \( n = 1 \), on a :
\[ (1 + x)^1 = 1 + x > 1 + 1 \cdot x \]L’inégalité est vraie.
Hérédité : supposons que l’inégalité est vraie pour un certain \( n \), c’est-à-dire :
\[ (1 + x)^n > 1 + nx \]Montrons qu’elle est vraie pour \( n + 1 \) :
\[ (1 + x)^{n+1} = (1 + x)^n \cdot (1 + x) > (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n+1)x + nx^2 > 1 + (n+1)x \]Donc, par récurrence, l’inégalité est vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).
Exercice 9
Montrer par récurrence que pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \) :
\[ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]Solution :
Initialisation : pour \( n = 1 \), on a :
\[ \sum_{k=1}^1 k^2 = 1 = \frac{1(1+1)(2\cdot1+1)}{6} \]L’égalité est vraie.
Hérédité : supposons que la formule est vraie pour \( n \), c’est-à-dire :
\[ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]Montrons qu’elle est vraie pour \( n+1 \) :
\[ \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2 \] \[ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)^2 \] \[ = \frac{(n+1)\big(n(2n+1) + 6(n+1)\big)}{6} \] \[ = \frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} \]Donc, la formule est vraie pour \( n+1 \), et par récurrence, elle est vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \).
Last modified: Friday, 7 November 2025, 11:03 AM