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 Université de Dr. Moulay Tahar . saida 

Faculté de Sciences 

École Normale Supérieure de Saïda

Département  de Mathématique

Niveau : 1 PES &1 PEM

Module : Algèbre

Solution de fiche TD : Les Structures Algébriques

  Exercice 01:

Soit \( * \) une loi de composition interne dans \( \mathbb{R} \setminus \{2\} \) définie par \[ x * y = xy - 2x - 2y + 6. \]

  1)

Soient \( x, y \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \), on a \[ x * y = xy - 2x - 2y + 6 = yx - 2y - 2x + 6 = y * x. \] Donc \( \forall x, y \in \mathbb{R} \setminus \{2\}, \, x * y = y * x \), i.e., la loi \( * \) est commutative.

Soient \( x, y, z \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \). D’une part, on a \[ x * (y * z) = x * (yz - 2y - 2z + 6) \] \[ = x(yz - 2y - 2z + 6) - 2x - 2(yz - 2y - 2z + 6) + 6 \] \[ = xyz - 2xy - 2xz - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6 \quad (1) \]

D’autre part, on a \[ (x * y) * z = (xy - 2x - 2y + 6) * z \] \[ = (xy - 2x - 2y + 6)z - 2(xy - 2x - 2y + 6) - 2z + 6 \] \[ = xyz - 2xy - 2xz - 2yz + 4x + 4y + 4z - 6 \quad (2) \]

De (1) et (2), il vient \( x * (y * z) = (x * y) * z \), ce qui montre que \( * \) est associative.

  2)

\( e \) est un élément neutre si et seulement si \( \forall x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}, \, x * e = x \). Soit \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \), on a \[ x * e = x \iff xe - 2x - 2e + 6 = x \] \[ \iff (x - 2)e = 3x - 6 \] \[ \iff e = \frac{3x - 6}{x - 2} \] \[ \iff e = 3 \]

  3)

\( x' \) est un inverse de \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \) si et seulement si \( x * x' = e \). On a \[ x * x' = 3 \iff xx' - 2x - 2x' + 6 = 3 \] \[ \iff (x - 2)x' = 2x - 3 \] \[ \iff x' = \frac{2x - 3}{x - 2} \]

On remarque que \[ x' = \frac{2x - 3}{x - 2} = \frac{2x - 4 + 1}{x - 2} = \frac{2x - 4}{x - 2} + \frac{1}{x - 2} = 2 + \frac{1}{x - 2} \neq 2. \]

D’où, tout élément \( x \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \) admet un inverse \( x' \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \).

  4)

  Conclusion:  \( (\mathbb{R} \setminus \{2\}, *) \) est un groupe abélien.

  5)

On a \[ x * 4 = 5x + 1 \iff 4x - 2x - 8 + 6 = 5x + 1 \] \[ \iff -3x = 3 \] \[ \iff x = -1 \]

  6)

On utilise le raisonnement par  récurrence: 

  (i)

Pour \( n = 2 \), on a \[ x * x = x^2 - 2x - 2x + 6 = x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2. \]

  (ii)

Supposons que \[ \underbrace{x * x * \ldots * x}_{n \text{ fois}} = (x - 2)^n + 2. \] et montrons que \[ \underbrace{x * x * \ldots * x}_{(n + 1) \text{ fois}} = (x - 2)^{n + 1} + 2. \]

On a \[ \underbrace{x * x * \ldots * x}_{(n + 1) \text{ fois}} = x * \left[(x - 2)^n + 2\right] \] \[ = x \left[(x - 2)^n + 2\right] - 2x - 2 \left[(x - 2)^n + 2\right] + 6 \] \[ = x(x - 2)^n - 2(x - 2)^n + 2 \] \[ = (x - 2)^n (x - 2) + 2 \] \[ = (x - 2)^{n + 1} + 2. \]

  Exercice 02:

  1)  a)

Soient \( x, y \in ]-1, 1[ \), \[ x * y = \frac{x + y}{1 + xy} = \frac{y + x}{1 + yx} = y * x, \] ce qui montre que \( * \) est commutative.

  b)

Soient \( x, y, z \in ]-1, 1[ \), \[ x * (y * z) = x * \left(\frac{y + z}{1 + yz}\right) = \frac{x + \frac{y + z}{1 + yz}}{1 + x \left(\frac{y + z}{1 + yz}\right)} = \frac{x + y + z + xyz}{1 + xy + xz + yz} \quad (1) \] et \[ (x * y) * z = \left(\frac{x + y}{1 + xy}\right) * z = \frac{\frac{x + y}{1 + xy} + z}{1 + \left(\frac{x + y}{1 + xy}\right) z} = \frac{x + y + z + xyz}{1 + xy + xz + yz} \quad (2) \]

De (1) et (2), il vient \( x * (y * z) = (x * y) * z \), ce qui montre que \( * \) est associative.

  c)

\( e \) est un élément neutre si et seulement si \( \forall x \in ]-1, 1[, \, x * e = x \). Soit \( x \in ]-1, 1[ \), on a \[ x * e = x \iff \frac{x + e}{1 + xe} = x \] \[ \iff e x^2 + x = x + e \] \[ \iff e (x^2 - 1) = 0 \] \[ \iff e = 0. \]

  d)

Soit \( x \in ]-1, 1[ \), \[ (x' \text{ est l'inverse de } x) \iff x' * x = e \] \[ \iff x' + x = 0 \] \[ \iff x' = -x. \]

On remarque que \( \forall x \in ]-1, 1[, \, x' \in ]-1, 1[ \). Donc tout élément de \( ]-1, 1[ \) admet un inverse. Conclusion : \( (]-1, 1[, *) \) est un groupe abélien (ou un groupe commutatif).

  2)

Soient \( x, y \in ]-1, 1[ \), \[ f(x * y) = f\left(\frac{x + y}{1 + xy}\right) = \ln\left(\frac{1 - \frac{x + y}{1 + xy}}{1 + \frac{x + y}{1 + xy}}\right) = \ln\left(\frac{1 + xy - x - y}{1 + xy + x + y}\right) \] \[ = \ln\left(\frac{(1 - x)(1 - y)}{(1 + x)(1 + y)}\right) = \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x} \times \frac{1 - y}{1 + y}\right) \] \[ = \ln\left(\frac{1 - x}{1 + x}\right) + \ln\left(\frac{1 - y}{1 + y}\right) = f(x) + f(y). \]

D’où, \( f \) est un morphisme de groupes .