III.4 Correcteur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
La commande à intégration est rarement employée seule mais plutôt en association avec la commande proportionnelle. Cette association permet de bénéficier de la rapidité d'action de la commande proportionnelle et de l'absence d'erreur résiduelle de la commande à intégration. La meilleure façon d'en comprendre le mécanisme consiste à visualiser séparément les effets de chaque composante dans un système en boucle ouverte.
III.4.1 Principe
La relation entre la sortie u(t) et le signal d'erreur ε(t) est :
III.4.2 Réalisations pratiques
Une première réalisation de ce correcteur en utilisant des circuits passifs et actifs est montrée sur la figure suivante
L'avantage du circuit de la figure 3.11 est qu'il n'utilise que 2 amplificateurs (le second servant d'inverseur avec un gain de valeur 1). Cependant, ce circuit ne permet pas une sélection indépendante de Kp et Ki, puisque ceux-ci dépendent tous les deux de R1.
III.4.3 Boucle fermée
Le schéma général de la boucle fermée est donné par :
III.4.4 Correcteur PI et système de 1er ordre
Considérons l'exemple du système du premier ordre précédent en présence d'un correcteur PI, et d'une perturbation W(p) représenté par la figure suivante.
La sortie Y (p) est donnée par :
On constate que la fonction de transfert en boucle fermée, en l'absence de perturbation, est celle d'un système du premier ordre de gain statique unité et de constante de temps; on est donc en présence d'un système précis et rapide.
III.4.5 Correcteur PI et système de classe un
Considérons à présent un système de classe 1 associé à un correcteur PI. Le schéma fonctionnel du système asservi est donné par :
La fonction de transfert, en boucle ouverte et en l'absence de perturbation est donnée par :
Et en boucle fermée par :
Ce système du troisième ordre peut être instable. Les conditions de stabilité sont données par le critère de Routh :
La condition nécessaire et suffisante de stabilité (si K, Ti et sont tous trois positifs) est que Ti >. Le zéro du correcteur doit donc être plus proche de l'axe imaginaire que le pôle du système. La stabilité du système impose donc une contrainte sur le choix du correcteur PI.
III.4.6 Exemple
La figure montre le schéma fonctionnel d’un exemple de correction PI.
Nous fixons Kp = 5, et nous varions la valeur de Ki.
III.4.7 Conclusion
L'introduction d'un correcteur PI permet d'améliorer la précision et de rejeter les perturbations de type échelon. Par contre, ce type de correcteur possède certaines limitations sur l'amélioration de la rapidité et peut même introduire une instabilité du système en boucle fermée.