Exercice 1:

Soient :

• \(A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{-2, -1, 2, 3, 4\}, \quad E = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}\).

Décrire les ensembles suivants :

• \(A \cap B, \quad A \cup B, \quad A \setminus B, \quad B \setminus A, \quad A \Delta B, \quad \complement_E A, \quad \complement_E B\).

Soient :

• \(A = ]-\infty, 3], \quad B = ]-2, 7]\).

Déterminer :

• \(A \cap B, \quad A \cup B, \quad \complement_\mathbb{R} A, \quad \complement_\mathbb{R} B\).

Exercice 2:

Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois parties d’un ensemble \(E\). Démontrer les relations suivantes :

• \(\complement_E (A \cap B) = \complement_E A \cup \complement_E B\).
• \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).
• \(A \subseteq B \iff \complement_E B \subseteq \complement_E A\).
• Montrer que : \[ \begin{cases} A \cup B = A \cup C \\\\ A \cap B = A \cap C \end{cases} \iff B = C. \]

Exercice 3:

Étant donné un ensemble \(E\), montrer que \(\forall A, B \in \mathcal{P}(E)\), si \(A \cap B = A \cup B\), alors \(A = B\).