Solutions des exercices - TD N°1
Exercice 1
- Pour \( (a) : \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x + y > 0 \)
- Soit \( x \in \mathbb{R} \). Prenons \( y = -x + 1 \). Alors : \[ x + y = x + (-x + 1) = 1 > 0 \] Ainsi, \( x + y > 0 \) pour tout \( x \). L'assertion \( (a) \) est donc vraie.
- La négation de \( (a) \) est : \[ \neg (\forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x + y > 0) \equiv \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y \leq 0 \]
- Pour \( (b) : \forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y > 0 \)
- Si \( x = -1 \) et \( y = 0 \), alors : \[ x + y = -1 + 0 = -1 \leq 0 \] L'assertion \( x + y > 0 \) est donc fausse pour ces valeurs. Par conséquent, \( (b) \) est fausse.
- La négation de \( (b) \) est : \[ \neg (\forall x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, x + y > 0) \equiv \exists x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, x + y \leq 0 \]
- Pour \( (c) : \exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y^2 > x \)
- Si \( x = -1 \), alors pour tout \( y \in \mathbb{R} \), \( y^2 > -1 \), car \( y^2 \geq 0 \). L'assertion \( (c) \) est donc vraie.
- La négation de \( (c) \) est : \[ \neg (\exists x \in \mathbb{R}, \forall y \in \mathbb{R}, y^2 > x) \equiv \forall x \in \mathbb{R}, \exists y \in \mathbb{R}, y^2 \leq x \]
- Pour \( (d) : \)
Si on calcule le discriminant du polynôme \(x^2 + x + 2\), on obtient \(\Delta = -7 < 0\), cela veut dire que \(x^2 + x + 2\) est strictement positif.
D’où l'assertion\((d)\) estvraie, sa négation est :
\[ (\overline{d}) : (\exists x \in \mathbb{R}) / x^2 + x + 2 \leq 0. \]
- Pour \( (e) : \)
Supposons que : \((\forall x \in \mathbb{R}^+), (\forall y \in \mathbb{R}^+)\), on a :
\[ \frac{x}{3 + x} = \frac{y}{3 + y}. \]
cela équivaut à :
\[ x(3 + y) = y(3 + x) \implies 3x + xy = 3y + xy \implies x = y. \]
D’où l'assertion\((e)\) est vraie, sa négation est :
\[ (\overline{e}) : (\exists x \in \mathbb{R}^+), (\exists y \in \mathbb{R}^+)/ \frac{x}{3 + x} = \frac{y}{3 + y} \land x \neq y. \]
- Pour \( (f) : \)
On pose x=1 on obtient\[ 1+\frac{1}{1}=2\]
L'assertion (f) n'est pas vérifier dans ce cas, donc elle est fausse, sa négation est :
\[ (\overline{f}) : (\exists x \in \mathbb{R}^{+}) / x+\frac{1}{x}\leq 2\]
Exercice 2
- Supposons \( a \leq b \). Alors : \[ 2a \leq a + b \quad \text{et} \quad a + b \leq 2b \] Divisons par 2 : \[ a \leq \frac{a+b}{2} \leq b \]
- Supposons \( a \leq b \). Alors : \[ a^2 \leq ab \quad \text{et} \quad ab \leq b^2 \] Prenons la racine carrée : \[ \sqrt{a^2} \leq \sqrt{ab} \leq \sqrt{b^2} \] Donc : \[ a \leq \sqrt{ab} \leq b \]
Exercice 3
Raisonnement par l’absurde :
Supposons que \( n^2 + 1 \) soit le carré d’un entier naturel. Donc, il existe \( p \in \mathbb{N} \) tel que :
\[ n^2 + 1 = p^2 \] Cela revient à dire : \[ p^2 - n^2 = 1 \] En factorisant, on obtient : \[ (p + n)(p - n) = 1 \] Les seuls entiers dont le produit est \( 1 \) sont \( (1, 1) \) ou \( (-1, -1) \). Cela implique : \[ p + n = 1 \quad \text{et} \quad p - n = 1 \] En additionnant ces deux équations : \[ 2p = 2 \quad \Rightarrow \quad p = 1, \, n = 0 \] Contradiction, car \( n > 0 \). Donc, \( n^2 + 1 \) n’est pas le carré d’un entier naturel.