المضلع التكراري :
يمكن عرض بيانات الجدول التكراري بطريقة قريبة الشبه من طريقة المد رج التكراري ولكن بدون رسم مستطيلات. ويتم ذلك كما يلي :
1 . يدرج المحورين الرأسي )يمثل التكرارات أو التكرارات المعدلة( والأفقي )يمثل الفئات(.
2 . تحدد النقط بحيث يكون احداثياها )أ( مركز الفئة على المحور الأفقي، )ب( التكرار أو التكرار المعدل على المحور الرأسي.
3 . توصل النقاط المتتالية )التي تمثل مراكز فئات متتالية( بخطوط مستقيمة.
4 . تحدد الفئة السابقة على الفئة الأولى وترسم لها نقطة على المحور الأفقي )تكرارها صفر( عند مركز الفئة. وتوصل هذه النقطة بالنقطة
التالية لها )الممثلة للفئة الأولى(.
5 . تحدد الفئة التالية للفئة الأخيرة وترسم لها نقطة على المحور الأفقي )تكرارها صفر( عند مركز الفئة، وتوصل هذه النقطة بالنقطة السابقة
لها )الممثلة للفئة الأخيرة(.
ويلاحظ أن المساحة التي يحصرها المضلع التكراري الناشيء تتساوى تمامًا مع المساحة التي يحصرها المدرج التك راري.
المنحنى التكراري :
يمكن تمثيل الجدول التكراري بتحديد النقط الممثلة للتكرارات بنفس الطريقة التي تم رسمها بها عند العرض باستخدام المضلع التك راري، ثم تمهيد
منحنى يمر بغالبية هذه النقط ويمثل في مجموعه توزيع قيمة الظاهرة، ويلاحظ أنه كلما كان التمهيد دقيقا كلما كانت المساحة التي يحصرها
المنحنى التكراري مساوية للمساحة التي يحصرها المد رج التكراري )أنظر المثال 1 .)
وتعتبر المنحنيات التكرارية من أهم طرق عرض الجداول التكرارية بيانيا لأنه بدراسة الأشكال المختلفة للمنحنيات التكرارية يمكن تفسير
الخصائص الأساسية لمجموعة البيانات المعروضة.
منحنى التكرار المتجمع الصاعد والنازل :
23
لا نستطيع من المنحنيات التكرارية العادية، معرفة التكرارات الواقعة أقل أو أكثر من قيمة معينة للمتغير، أو الواقعة بين قيمتين له، ويمكننا
الحصول على هذه المعلومات من منحنى التكرار المتجمع الصاعد. وهذا يتطلب تكوين جدول التكرار المتجمع الصاعد بجمع تكرار كل فئة
على مجموع تكرارات الفئات السابقة ابتداءًا من التكرار )صفر( أمام الحد الأعلى للفئة الأولى، حتى نحصل في النهاية على التكرار )الكلي(
أمام الحد الأعلى للفئة الأخيرة. فالإحداثيات الأفقية هي الحدود العليا للفئات. ويمكننا الحصول على نفس هذه المعلومات من منحنى التكرار
المتجمع النازل، وهذا يستدعي تكوين جدول التكرار المتجمع النازل بطرح تكرار كل فئة من تكرار الفئة السابقة إبتداءًا من التكرار )الكلي(
أمام الحد الأدنى للفئة الأولى، حتى نحصل في النهاية على التكرار )صفر( أمام الحد الأدنى للفئة الأخيرة، فالإحداثيات الأفقية هي الحدود الدنيا
للفئات. ويمكن رسم المنحنيين الصاعد والنازل في شكل واحد بنفس مقياس الرسم، حيث يتقابلان في نقطة يساوي إحداثيها الرأسي نصف
التكرار الكلي.
ويلاحظ أن رسم المنحنى التجميعي في التوزيع التكراري غير المنتظم لا يستدعي تعديل التكرارات.
جدول ) 5 ( : التكرار المتجمع الصاعد والنازل لاستهلالك الكهرباء
بالكيلووات/ساعة في مدة شهر بواسطة 75 أسرة
فئات استهلاك الكهرباء
ب Kw/h
تكرارات
الأسر 
التكرار المتجمع الصاعد التكرار المتجمع النازل
الحدود العليا ت. م. ص الحدود الدنيا ت. م. ن ت.ن ت. ن ص ت. ن ن
أقل من
5
0
0
5 - 25
4
5 - 25
4
5 - 165
75
0.05
0.05
1
25 - 45
6
5 - 45
10
25 - 165
71
0.08
0.13
0.95
45 - 65
15
5 - 65
25
45 - 165
65
0.20
0.33
0.87
65 - 85
22
5 - 85
47
65 - 165
50
0.29
0.63
0.67
85 - 105
13
5 - 105
60
85 - 165
28
0.17
0.80
0.37
105 - 125
7
5 - 125
67
105 - 165
15
0.09
0.89
0.20
125 - 145
5
5 - 145
72
125 - 165
8
0.07
0.96
0.11
145 - 165
3
5 - 165
75
145 - 165
3
0.04
1
0.04
165 فأكثر
0
0
75
-
-
-
-
-
-
-
ت. ن = التكرار النسبي. ت. م. ص = التكرار المتجمع الصاعد.
ت. ن. ص = التكرار النسبي الصاعد.
ت. ن. ن. = التكرار النسبي النازل. ت. م. ن = التكرار المتجم النازل.
ولكي نبين كيفية استخدام المنحنيين الموضحين في الشكل التالي، نضرب الأمثلة التالية :
 عدد الأسر التي تستهلك أكثر من 105 كيلوات/ساعة في الشهر :
)من منحنى التكرار المتجمع الصاعد( = 75-60 = 15 .
)من منحنى التكرار المتجمع النازل( = 15 .
 عدد الأسر التي تستهلك أقل من 45 كيلوات/ساعة في الشهر :
)من منحنى التكرار المتجمع الصاعد( = 10 .
24
.10 = 75- )من منحنى التكرار المتجمع النازل( 65
105 كيلوات/ساعة في الشهر : - عدد الأسر التي تستهلك ما بين 45 
.50 = 60- )من منحنى التكرار المتجمع الصاعد( = 10
.50 = 65- )من منحنى التكرار المتجمع النازل( 15
الجدول التكراري النسبي المتجمع.
بنفس الطريقة التي كونا بها جدول التكرار المتجمع الصاعد أو جدول التكرار المتجمع النازل، يمكن تكوين جدولين مناظرين باستخدام
التكرارات النسبية بدلا من التكرارات المطلقة، ويسمى الجدولين "جدول تكراري نسبي متجمع صاعد" و"جدول تكراري نسبي متجمع نازل".
التكرار النسبي = تكرار الفئة/مجموع التكرارات.
التكرار النسبي المتجمع = تكرار الفئة المتجمع/مجموع التكرارات.
القسم الثالث
مقاييس النزعة المركزية
المتوسطات ومقاييس النزعة المركزية :
المت وسط هو القيمة النموذجية أو الممثلة لمجموعة من البيانات، وحيث أن مثل هذه القيمة النموذجية تميل إلى الوقوع في المركز داخل مجموعة
بيانات مرتبة حسب قيمها، فإن المتوسطات تسمى أيضا بمقاييس النزعة المركزية. ويمكن أن نعرف صورًا عديدة للمت وسطات وإن كان الأكثر
شيوعًا : الوسط الحسابي، الوسيط، المنوال، الوسط الهندسي والوسط التوافقي. وكل منها له مميزاته وعيوبه، وهذا يعتمد على البيانات والهدف
من استخدامه.
الوسط الحسابي I
-1 البيانات غير مبوبة :
x1, x2,…, xn الوسط الحسابي لمجموعة من القيم هو حاصل قسمة مجموع هذه القيم على عددها. فإذا كان لدينا
فإن الوسط الحسابي X : يكتب كما يلي
.......(1)
n
X  i
  
n
X X Xn .... 2 1 = X
37, 45, 42, 41, مثال : 51
42,2
5
37 45 42 41 51

   


X
الوسط الحسابي لسلسلة عددية : 
إذا كانت لدينا سلسلة عددية فإن الوسط الحسابي لهذه السلسلة هو قسمة مجموع الحد الأول والحد الأخير من السلسلة على 2، بحيث يقع
الوسط الحسابي في منتصف السلسلة تمامًا.
9( فيكون الوسط الحسابي لها كما ،...،3 ،2 ،1( . مثال 1 : لتكن لدينا السلسلة العددية التي حدها الأول 1 وأساسها 1 وحدها الأخير 9
يلي :
25
5
2
10
2
1 9
 



أو 5 X
9
45
 



N
X
X
17 (، يكون الوسط ،15 ،13 ،11 ،9 ،7 ،5 ،3( مثال 2 : لتكن لدينا السلسلة العددية التي حدها الأول 3 واساسها 2 وحدها الأخير 17
الحسابي لها :
10
2
20
2
3 17
 



أو 10 X
8
80
 



N
X
X
نلاحظ أن 10 يقع في منتصف السلسلة تمامًا، وإن كان لا يشكل أحد أرقام السلسلة.
إذا كانت الأرقام  k ,..x 2 , x 1 فإن الوسط الحسابي )1,.., k( على الترتيب )بمعنى أنها تحدث بتكرارات 1,2,.., k تحدث x
سيكون :
...(2)
...
...
1 2
1 1 2 2
n
fX
f
f X
f f f
f X f X f X
X
k
k k 




  
  


حيث Nf  . هو مجموع التكرارات أي مجموع عدد الحالات
3 على الترتيب فإن الوسط الحسابي سيكون : ،2 ،4 ، 5 تحدث بتكرارات 1 ،8 ،6 ، مثال : إذا كانت 2
5,7
10
15 16 24 2
3 2 4 1
(3)(5) (2)(8) (4)(6) (1)(2)

  

  
  


X
الوسط الحسابي المرجح : 
وهذه تعتمد على الدلالة أو الأهمية w1, w2,.., wk بمعاملات ترجيح أو أوزان x1, x2,.., xk في بعض الأحيان نقرن بعض الأرقام
الم رتبطة بهذه الأرقام، ويكون لدينا :
...(3)
...
...
1 2
1 1 2 2
W
WX
W W W
W X W X W X
X
k
k k



  
  


وهو يسمى بالوسط الحسابي المرجح، وبالمقارنة بالمعادلة ) 2( نقول أن هذه الأخيرة هي عبارة عن الوسط الحسابي المرجح بالتكرارات.
مثال : إذا كان معامل الامتحان النهائي في مقياس ما ثلاثة أمثال الامتحانات الجزئية، وإذا حصل طالب في الامتحان النهائي على العلامة
70 فإن متوسط تقدير هذا الطالب هو : ، 85 ، وفي الامتحانات الجزئية على العلامتين 90
83
5
415
1 1 3
(1)(70) (1)(90) (3)(85)
 
 
 


X
خصائص الوسط الحسابي : 
أ. المجموع الجبري لانحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفرًا.
8 وسطها الحسابي هو 7.6 ، فإن انحرافات هذه المجموعة من الأرقام عن ،3 ،5 ،12 ، فإذا كان لدينا مجموعة من الأرقام : 10
وسطها الحسابي هي :
(87.6) (37.6) (57.6)(127.6) (107.6)  0.44.62.6 4.4 2.4  7.27.2  0
26
ب. مجموع مربعات انحرافات مجموعة من القيم j x عن أي رقم a قط، إذا كانت يكون أصغر ما يمكن في حالة واحدة ف aX
 .
) يعبر عن انحرافات مختلف القيم عن هذا الوسط الفرضي، فإن المعادلتين ) 1 dj=xj -A أي وسط فرضي، وكان A ج. إذا كانت
و) 2(ستصبحان على الترتيب :
...)4(
N
d
A
N
dj
X A

 

 

... )5(
f
fd
A
fj
fjdj
X A


 


 

6 ) ويمكن أن نكتب ذلك على الشكل التالي : ) ...
 
  D A X
وهذه الطريقة في حساب الوسط الحسابي تسمى طريقة الانحرافات عن الوسط الفرضي.
37 واخترنا 42 كوسط فرضي، فيكون لدينا : ،41 ،42 ،45 ، مثال : لو أخذنا المجموعة 51
5
(37 42) (41 42) (42 42) (45 42) (51 42)
42
        
 

X
42 1,2 43,2
5
6
42
5
5 ( 1) 0 3 9
42     
     
 
-2 البيانات مبوبة :
عندما تعرض البيانات في تو زيع تكراري، فإن جميع القيم التي تقع داخل فئة معينة تعتبر مطابقة لمركز الفئة أو منتصف مدى الفئة، المعادلات
dj=Xj-A أي مركز فئة افتراضي، و A ، التكرار المقابل لها fj مركز الفئة و xj 2( و) 5( يمكن استخدامها للبيانات المجمعة إذا اعتبرنا (
إن الحساب باستخدام الصيغة ) 2( يسمى بالطريقة المطولة أو المباشرة، وبالصيغة ) 5( يسمى بالطريقة .A عن Xj انحرافات مراكز الفئات
حيث : CUj يمكن التعبير عنها بالصورة dj=xj-A والانحرافات C المختصرة وإذا كانت أطوال الفئات متساوية وتساوي
C
dj
C
Xj A
Uj


0 ، فإن الصيغة ) 5( تصبح : ,±1,± يمكن أن يكون عددًا صحيحًا موجبا أو سالبا أو صفرًا، أي : …, 2 
. .C... )7(
N
fU
C A
N
fjUj
X A

 

 

  : والتي تكافد المعادلة
وهذه تسمى طريقة الترميز عند حساب ال وسط الحسابي، وهي مختصرة جدًا، وتستخدم دائمًا X  ACU
تحول إلى قيم المتغير بالعلاقة : x للبيانات المجمعة عندما تكون أطوال الفئات متساوية. لاحظ أنه في هذه الطريقة فإن قيم المتغير
X  ACU
هي : )A( ملاحظة : الشروط التي يجب أن تتوافر في الوسط الفرض
1( أن يكون أحد مراكز الفئات الموجودة بالجدول.
2( أن يكون قريبا من وسط الجدول.
3( أن يكون أمام أكبر تكرار إن أمكن.
27
أوجد الوسط الحسابي : أ( بالط ريقة المطولة، ب( بطريقة الانحرافات xy مثال : لديك الجدول التالي والذي يمثل أوزان 100 طالب في جامعة
المختصرة، ج( بطريقة الترميز.
74.5 المجموع -71.5 -68.5 -65.5 -62.5 62.5 - الفئات 59.5
100 8 27 42 18 التكرارات 5
الحل :
fj Uj
dj
C /
مراكز الفئات fj Xj dj=Xj-A fj dj Uj=
Xj
الفئات fj
59.5-62.5 5 61 305 -6 -30 -2 -10
62.5-65.5 18 64 1152 -3 -54 -1 -18
65.5-68.5 42 67 A 2814 0 0 0 0
5-68-71.5 27 70 1890 3 81 1 27
71.5-74.5 8 73 584 6 48 2 16
 100 - 6745 0 45 0 15
أ( kg
f
fX
X 67.45
100
6745
 




ب( kg
f
fd
X A 67.45
100
45
 67  


 

ج ( kg
f
fU
X A CU AC  67 3(0.15)  67.45


  
 
مزايا وعيوب الوسط الحسابي :
أ( المزايا : 1( سهل وبسيط، لذلك فهو أكثر المتوسطات استخدامًا.
2( يخضع خضوعًا تامًا لجميع العمليات الجبرية.
ب( العيوب : 1( لا يمكن إيجاده من الجداول التكرارية المفتوحة من أحد الطرفين أو من كليهما، نظرًا لعدم معرفة مراكز الفئات
المفتوحة. ويصح إهمال الفئة المفتوحة إذا كان تكرارها بسيطا، والأفضل استخدام أحد المتوسطات الأخرى
كالمنوال والوسيط مثلا.
2( لا يمكن إيجاده بالرسم.
3( يتأثر بالقيم المتطرفة )الشاذة( إن وجدت، فيكون في هذه الحالة مضللا لأنه لا يعبر تعبيرًا صادقًا عن متوسط
القيم.