Calcul du biais
Calcul du biais de l'estimateur
L'estimateur est non biaisé si :
Donc si
il faut donc que :
- X et e soient non corrélés
- e soit centré
Mais ce n'est p as le cas ! Le calcul de ce biais su r l'exemple présenté dans la figure suivantes permet de le montrer
Système du premier ordre bruité
Les équations du système sont :
Où βi est un bruit répondant aux deux équations suivantes :
Soit une moyenne nulle et une fonction d'auto-corrélation de type Dirac. En réécrivant les équations du système on obtient :
Fonction d'auto-corrélation des résidus d'estimation
La fonction d'auto-corrélation montre bien que les résidus ei ne sont pas un bruit blanc, notre estimateur est bien biaisé ! Il reste donc à trouvé une méthode qui permette de rendre ce biais nul. Deux méthodes sont proposées ci-après : La méthode des moindres carrés généralisés et la méthode de la matrice instrumentale
L'estimateur non-biaisé fournit une valeur non-décalée par rapport à la vraie valeur .
Soit 
la valeur théorique des
paramètres. On peut écrit 
les mesures ont pour valeur
avec 
bruit de
mesure.
L'écart entre l'estimation et la vraie valeur des paramètres du
modèle est : Biais
de l'estimation des paramètres: L'espérance de l'erreur d'estimation est : Pour un bruit de mesure non corrélé à H , l'espérance sera
: Dans les cas usuels (bruit à valeur moyenne nulle), l'estimateur
des moindres-carrés est non-biaisé
: la valeur estimée des paramètres est proche de la
vraie valeur en moyenne. Il fournit une estimation non-décalée par rapport aux
vraies valeurs.
